机械振动是物理学及工程技术中广泛存在的现象，抑制有害振动一直是物理学和工程技术中迫切需要解决的问题。在工程中，当作周期结构处理的结构具有机械振动带隙特性，即当弹性波在周期结构中传播时，某些频率范围内，振动不能通过。　　 周期结构的研究在物理领域中已广泛开展，有电子晶体、光子晶体、声子晶体。声子晶体是指具有声波或弹性波禁带的周期性结构材料。在带隙频率范围内，声波和振动不允许通过。声子晶体在带隙理论和带隙算法方面已取得重要进展，但应用探索才刚开始。　　 本文以此为背景，利用散度和旋度算符对弹性波中的压缩波和剪切波进行分离，提出利用声子晶体波分离理论，对周期结构的压缩波和剪切波振动带隙特性进行深入研究。　　 首先从周期结构、光子晶体引入声子晶体的概念、属性、禁带机理、非完整周期性、能带结构计算方法、并阐述了声子晶体的研究现状、研究意义。　　 接着，我们从理想弹性介质中的弹性波波动方程出发，利用散度和旋度算符分离出纵波和横波。介绍了声子晶体常见的排列，推导了固-固系统和液-液（气-气）系统的平面波展开方法的本征值方程，并给出了几种常见单胞的结构函数和旋转结构函数。且详细介绍了一维声子晶体中的传输矩阵法。　　 第三，我们研究了二维固液和固固系统的弧状声子晶体。对于钢和水组成的系统，研究了低频能带结构;模态和第一带隙上边沿的关系;钢层的厚度对第一声波带隙的影响。对于钢和环氧树脂组成的系统，分别研究纵波和横波低频复能带结构，发现存在一些局域平带，其局域频率对应于材料弹性参数;研究钢层厚度对局域共振频率的影响。结果表明低模态下第一声波带隙从零赫兹开始。在高阶旋转对称下，可以获得局域共振带隙，局域的频率对应于声波在材料中的速度。这些特性可以有效应用于低频禁带结构中，或窄带通器件设计中。　　 第四，我们研究了在环氧树脂基体中嵌入正方形晶格钢圆柱体和正方形晶格矩形横截面柱体组成的二维声子晶体系统压缩波低频能带结构。发现能带结构中存在一些局域化平带，分析了最低几条能带Γ点的局域模在不可约Brillion区产生的压力分布图。比较发现，第二个系统产生局域模的数目减少，并且振动幅度增加，局域化现象更为明显。振动在多通道的局域模式得到加强，波将沿着通道传播。结果表明散射体对称性降低是增强局域的有效方法。这种特性对设计波导有潜在应用。　　 第五，我们研究了磁流变弹性体基体中嵌入铅柱的正方形晶格的二维声子晶体剪切波的能带结构。发现剪切波带隙对柱体横截面长度是敏感的，剪切波带隙仅在很小的长度范围内打开，迅速增加，并最终消失;带隙宽度及中间频率随着外磁场强度的增加呈线性增加，并出现旧的带隙向新的带隙切换现象;当30°＜θ＜45°时，剪切波带隙与外部磁场的旋转角度几乎是线性关系。结果表明，可以通过外部磁场旋转或磁场强度变化进行非接触式调谐选频滤波。这些特点潜在应用于剪切波带隙可调装置的设计。　　 最后，研究了二维声子晶体点群对称对不可约布里渊区的影响。我们在单柱体二维声子晶体单胞中增加一个柱体，设计成不同点群对称操作数的对称结构，计算了最低5条能带的本征频率值在第一布里渊区的分布图，结果表明:在计算二维声子晶体的能带结构时，如果声子晶体的点群对称操作数为n，所取的不可约布里渊区应为整个第一布里渊区的1/n。　　 本文将声子晶体理论和算法引入到周期结构的振动带隙特性研究中，应用理论分析和仿真相结合的研究方法，进一步深化了周期结构的振动带隙理论，特别是通过弹性波分离的方法，为周期结构的低频减振降噪提供了新的思路和技术途径。这些研究对推动声子晶体理论在减振降噪领域中的工程应用具有重要的理论意义和工程参考价值。