【摘 要】
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本文对高斯过程逗留时间研究中涉及的Berman函数进行了深入分析,提出广义的Berman函数表示如下:其中mes(E)是紧密集,E(?)R的勒贝格测度,h是连续的漂移函数,Bα是Hurst指数为
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本文对高斯过程逗留时间研究中涉及的Berman函数进行了深入分析,提出广义的Berman函数表示如下:其中mes(E)是紧密集,E(?)R的勒贝格测度,h是连续的漂移函数,Bα是Hurst指数为α/2 ∈(0,1]的中心化分式布朗运动,它与逗留时间和在高斯过程的极值分析中产生的Pickands常数和Piterbarg常数密切相关.在几类漂移函数的某些特定条件下,分别给出α=1和α=2时,Bαh(x,E)的显式表达式;并计算出具有典型漂移函数时,Bαh(x,E)的界的表达式;最后通过数值分析,进一步展示其性质.全文主要由三个部分组成:首先考虑严格正漂移函数h(t)=ctα,t≥ 0,c>0,当α分别为1和2,且E=[0,∞)时,计算标准布朗运动B1(t)和高斯分布B2(t)下的Bαh(x)的显示表达式;接着根据一般连续函数h(t)+t2的凹凸性,进一步研究α=2时Bαh(x,E)的性质,并利用一些特殊形式的漂移函数,形如h(t)=c|t|λ-t2,λ>0,计算B2h(x,E)在任意有限时间间隔E=[a,b]条件下的具体表达式,其结果的表达形式由对应方程的根及其最值与区间端点的相对位置决定.特别是当区间E包含零点以及幂指数λ≠1时,表达式形式极其复杂;第三部分则是在第二部分的基础上,研究广义Berman函数的上下界;最后一部分则利用数值分析,得到更直观的结果展示.
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