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本文分别考虑了一维非稳态Burgers方程和二维非稳态Navier-Stokes方程,提出了二阶隐的Legendre谱格式,严格地证明了格式在时间方向上具有两阶精度,在空间方向上具有谱精度。
具体地说,在第二章我们探索了一维非稳态Burgers方程,建立了二阶隐的Legendre谱格式,该格式不仅保持能量守恒,而且还模拟了原问题的长时间性态,是一种保结构算法。此外,我们运用Brower不动点定理证明了数值解的存在性,运用能量方法证明了数值解的唯一性。为了估计收敛阶,我们用斜对称三线性泛函技巧处理了非线性项,严格证明了格式在时间方向具有二阶精度,在空间方向具有谱精度。所有这些为研究二维Navier-Stokes的谱逼近提供了理论框架。
在第三章,我们介绍了二维非稳态Navier-Stokes方程的弱形式并建立了二阶隐的Legendre谱格式。由于不可压缩条件 ,给我们的研究带来了许多困难,通过对非线性项的特殊处理,成功地将非稳态Burgers方程的处理方法推广到Navier-Stokes方程。
在第四章,我们利用离散能量方法严格估计了二维非稳态Navier-Stokes方程谱逼近的误差。由于不可压缩条件 ,使研究较为复杂。为了克服这些困难,我们充分利用三线性泛函的各种性质,精巧地运用不等式严格估计了收敛阶。
在第五章,我们给出了数值解,验证了谱格式的长时间性态和数值解的精度,证明谱方法的确是一种行之有效的方法。