原子的激光冷却与囚禁无疑是从20世纪末至今物理学发展最为迅速、成果十分辉煌的一个领域,其中包括了中性原子的激光冷却与超冷量子气体的制备等等。在中性原子的囚禁方向,此前的研究人员的主要研究课题是如何提高单个原子的操控精度。随着研究的不断深入,现今的科学家们着重于在此基础之上将单原子的精细操控和囚禁扩展到对介观及宏观原子点阵的有效调控上,以此达到在介观及宏观尺度上对现今的量子理论给予佐证及对未知领域探索的目的。光晶格中的超冷中性原子与环境的相互作用很弱,因此即使在超冷中性原子形成的体材料当中,它也是一个相当纯净的系统。同时,光晶格中的超冷中性原子气,从原子气的制备,各种囚禁势结构的形成,原子间跃迁的产生,到原子间自旋轨道的形成及原子间强关联相互作用的构造等等,这些在光晶格冷原子实验当中都可以被精确的操控,并且其存储和保持量子相干性的时间也相对较长。基于这些独特的性质,光晶格中的超冷中性原子是用来实现量子模拟的理想平台,不管是单体还是多体系统,甚至可以设计达到凝聚态系统无法达到的参数状态。此外,光晶格还提供了多种技术手段来探测这些系统的特有性质。在本文的量子模拟中,我们研究了用冷原子体系实现一维可扩展的Fibonacci准晶并探测准晶系统的拓扑性质;以及在一维光晶格体系当中模拟量子反常Hall效应。在第二章中,我们介绍了 Singh等的工作,他们讨论了如何在冷原子光晶格系统当中形成准周期性的晶格。通过对囚禁势VL及VC的调控,他们描述和说明了一类可扩展的Fibonacci光晶格的性质,它们能形成一族动力学可调谐的一维准晶。这一类准晶的物理实现是通过剪切-投影来构造的,这种构造来源于对准晶定义的普适数学理论。即任何的准晶构造都可定义为从一个更高维的具有周期性的格子当中通过剪切-投影来得到低维的准晶结构。如本文中的一维Fibonacci准晶就是从二维周期性方格子当中用剪切-投影构造的;还有如Penrose构造是从五维周期势中得到的二维准晶等等。自从发现对二维整数量子Hall效应的拓扑解释以来,拓扑在现代凝聚态领域当中占据着举足轻重的地位。特别的,一些有可能为拓扑量子计算提供潜在平台的一些拓扑材料,如今引起了人们对拓扑材料的广泛研究。通常的这些仅仅是限制在一个周期性的结构当中,而对准周期性结构的元激发,相子激发,散射,拓扑等研究要相比少得多,特别的关于如何测量准晶的拓扑以及如何在实验中实现。在第三章中,我们以上一章中建立的Fobonacci光晶格为平台,我们将用于测量晶体拓扑陈数的Wannier函数方法推广,将其运用到测量准晶的拓扑陈数。Wannier函数虽然是在具有周期性结构的晶体当中导出的,但是在准晶的条件下也是适用的。我们运用数值模拟的方法证明了这种推广的可行性。此外,我们数值模拟计算了所有的实验可测量量,并预计了可能的实验测量结果。相比于晶体,准晶当中运用Wannier函数通过一维的拓扑泵浦来得到的Wannier函数中心的跳跃是非整数的,但它仍旧能够准确反映准晶的拓扑性质。我们运用理论与数值计算的方法解释了这个非整数与拓扑数的联系。量子反常Hall效应是一种无磁场的Hall效应,他没有填充因子也无相应的Landau能级与其对应。目前的量子反常Hall效应均是建立在一个二维的系统当中,在第四章中,我们提出在一个具有自旋-轨道耦合的一维紧束缚模型当中产生非平庸的拓扑手征边缘态。当人造的周期参量θ变化时,整个自旋-轨道耦合系统有非平庸的手征态。另一方面,这个一维的自旋-轨道耦合系统能重现令人惊奇的量子反常Hall相图,与原来的二维系统展现相同的性质。此外,我们在冷原子光晶格系统当中提出了如何实现自旋-轨道耦合及如何测量拓扑陈数。在本文的最后一章,我们做了一个简单的总结和展望。