矩阵理论是数学和科学中最基本的工具之一,方便了数据的收集和处理。由于多索引数据集在科学和工程领域的广泛应用,矩阵的高阶推广——张量或超域的概念已经被引入和研究。与矩阵相比,张量有更多的下标,它们拥有自己的几何和代数结构,如果将它们重塑或展开成矩阵,这些结构可能会丢失。比矩阵的情况要复杂的多的是它们的一个内在特征是张量特征值的概念,这个概念非常依赖于张量结构。因此,张量本身必须被视为数据对象,目前需要关于这种新型对象的理论。本文主要围绕协方差张量与高阶矩的张量表示展开论述,具体内容如下:在第三章,首先介绍了条件正态分布随机变量的协方差矩阵的分块特征;然后通过矩阵分块方法、结合矩阵分解和矩阵广义逆,研究了奇异协方差矩阵对应的线性回归模型和矩阵分块方法在多元线性回归中的应用;最后将协方差矩阵推广到协方差张量,并研究了它的性质。在第四章,引入高阶张量矩生成函数和累积张量;其次对大小一致的随机矩阵序列,考察了它们对应的张量矩生成函数和累积张量的性质;最后介绍了高阶张量矩,给出了多元高斯分布的高阶矩的张量表示,并研究了它们的性质。在第五章,首先引入了BVGW分布,推导出了其矩生成函数和k阶矩的表达式,通过对样本点进行归一化,得到了它的近似分布函数、近似概率密度函数、近似生存函数等;在此基础上,利用EM算法计算了BVGW分布中未知参数的最大似然估计,并且得到了观测Fisher矩阵;根据参数的最大似然估计渐进服从正态分布,从而构造未知参数的渐近置信区间;其次研究了向量VAR过程的Fisher矩阵以及Fisher矩阵在CramerRao不等式和Jeffreys无信息先验中的应用;最后基于Fisher矩阵还具有对称性、非负性等好的性质,引入了Fisher张量,得到了参数最大似然估计量的渐进分布的协方差张量是Fisher张量的逆,同时讨论了Fisher张量的性质。