格理论作为一种后量子理论近年来受到众多学者的广泛关注。基于格理论困难问题的公钥密码体制不仅可以抵抗量子攻击，并且只包含简单的线性运算，具有较高的效率，但是目前基于格理论困难问题较为可行的的公钥密码算法只有NTRU，而NTRU公钥密码体制由于缺乏安全性证明而大大限制了其应用，因此设计基于格困难问题安全高效的公钥密码算法便成为关注的热点，也是本文的研究重点。本文的主要工作如下：首先，为了更好的设计基于格困难问题的公钥密码算法，就必须对格困难问题有一个深刻的认识，格基规约算法作为针对格困难问题产生的密码分析技术，成为本文的第一个研究重点。通过对格基规约算法的研究，本文提出了一种高效规约算法，给出了该算法的规约基定义以及实现伪码，同时还给出了格基规约在密码分析中的格构造方法，并将该方法应用到分析Regev公钥密码体制中，从侧面反映出本方法的有效性。其次，本文对目前已有的基于格理论的公钥密码算法进行了分析和研究，对其中两种典型的密码算法进行了改进。第一种是对Regev公钥密码体制的改进，使其可以实现对比特串的加解密，同时给出了其正确性和安全性证明；另外，对一种基于环上错误学习问题（R-LWE）的公钥加密方案进行了改进，提出了一种新型的基于R-LWE的公钥加密算法，并证明其在标准模型下满足选择明文攻击安全。再次，本文设计了两种基于格困难问题的数字签名方案。第一种是基于错误学习问题（LWE）的数字签名方案，同时将该签名方案扩展成为一种群签名方案，给出了相关的安全性分析。第二种是设计了一种在随机预言模型下选择消息不可伪造的基于身份的签名方案，该方案主要是依据陷门抽样函数和盆景树算法进行设计的，同时也将该方案与现有方案进行了比较分析，指出了本方案的优势。最后，本文设计了两种基于格困难问题的公钥加密方案。第一种方案是基于R-LWE选择明文攻击安全的公钥加密方案，该方案的整体结构类似NTRU，主要优点是简洁，安全性较好。第二种方案是基于判定型错误学习问题（distLWE）的选择密文攻击安全的公钥加密方案，其中通过引入杂凑函数防止了选择密文攻击，设计思路新颖，具有较高的创新性，且本方案较以往的方案更加简洁。