层状压电结构热-力-电耦合问题的状态空间解

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状态空间法由于选取的状态变量矩阵可以仅仅和层状结构的上、下两个表面的边界条件等物理量相关联,因而是一种求解层状结构问题的有效方法。随着电脑的普及、计算速度的提高和程序编写难度的降低,在求解层状结构的数值分析领域中,状态变量方法应用的越来越多。在以往运用状态变量法研究层状压电结构过程中,研究者都是基于力-电场耦合问题,很少考虑工作环境中的温度变化。而实际上,压电智能结构的工作环境往往处于一定的温度中,同时本身工作过程中也会不可避免的产生热,为了保证分析过程能够体现压电结构的更真实行为,应该考虑热-力-电场的耦合影响。  在压电的力-电耦合方程组基础上,考虑热因素,利用能量原理导出了横观各向同性压电层热-力-电耦合的本构方程,建立了笛卡尔坐标系下的状态变量方程组。通过Laplace变换将非常系数微分方程组转化为一阶线性常系数齐次状态方程组,进而得到以传递矩阵和初始状态变量矩阵表示的,横观各向同性单层压电模型在Laplace变换空间中的解析解。利用Cayley-Hamilton定理,给出四种可能出现的不同特征值情况下的解析表达式。  在热-力-电耦合横观各向同性单层压电层状态方程组的基础上,假定层间的状态变量具有完全连续性,分别分析了有限厚度层层状压电结构和半无限体压电结构的热-力-电耦合问题。本文给出了传递矩阵法(TMM)和解析层元法(LEM)在层状压电结构热-力-电耦合问题中的详细求解过程:传递矩阵法是先求得每层的传递矩阵,通过层间的连续条件集成为总传递矩阵,进而得到任意层任意深度处的应力、电位移、温度与初始应力、电位移、温度之间的关系式;对于解析层元法,在求解单层层元刚度矩阵后,构建了由应力、电位移和温度组成的广义应力矩阵与位移、电势和热场组成的广义位移矩阵之间的关系式,然后将各层的刚度矩阵错位叠加,最后得到层状压电结构的总刚度矩阵连接的表达式。  另外,本文还讨论了Laplace变换域中表面层作用载荷的初始边界条件的表达式,为工程上直接应用文中的层状压电结构解提供了准备。最后通过一个三层压电结构模型算例,验证了本文理论分析的合理性及计算方法的可行性。
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