【摘 要】
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本文主要研究图的线性荫度和图的轻结构.图的线性荫度la（G）是指最小的m,使得G的边集可以被剖分成m个边不交的集合,每个集合都是森林且森林中的每个分支都是路.图的线性k-荫度lak（G）是指最小的m,使得G的边集可以被剖分成m个边不交的集合,每个集合都是森林且森林中的每个分支都是长度不超过k的路.对于G中的边xy,若dG（x）+dG（y）≤M,则称xy为G中的一条M-轻边;若dG（x）=a且dG（
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本文主要研究图的线性荫度和图的轻结构.图的线性荫度la（G）是指最小的m,使得G的边集可以被剖分成m个边不交的集合,每个集合都是森林且森林中的每个分支都是路.图的线性k-荫度lak（G）是指最小的m,使得G的边集可以被剖分成m个边不交的集合,每个集合都是森林且森林中的每个分支都是长度不超过k的路.对于G中的边xy,若dG（x）+dG（y）≤M,则称xy为G中的一条M-轻边;若dG（x）=a且dG（y）≤b,则称xy为G中的一条(（α,b-）-边;若dG（x）≤a且dg（y）≤ b,则称xy为G中的一条(（a-,b-）-边.1970年,Harary提出了图的线性荫度这个概念.而后在1980年,Akiyama,Exoo和Harary提出了线性荫度猜想（LAC）:对于任意图G,（?）.同时,他们证明了完全图、完全二部图、树、Δ=3,4的图满足LAC.1984年,Enomoto和Peroche证明了 Δ=5,6,8的图满足LAC.1986年,Guldan证明了 Δ=10的图满足LAC.Wu等人证明了平面图满足LAC.1982年,Habib和Peroche提出了线性k-荫度的概念.2003年,Lih,Tong和Wang证明了:若G是一个平面图,则（?）.2017年,Wang等人改进这个结果到（?）.2018年,Wang等人证明了:若G是一个环面图,则（?）.1955年,Kotzig研究了平面图的轻结构,证明了每个3-连通的平面图包含一条（3,10-）-边,或（4,7-）-边,或（5,6-）-边,并且这个结果是最好的.2007年,Fabrici和Madaras证明了每一个3-连通的1-平面图都包含了一条（20-,20-）-边.同时,他们构造了一个1-平面图存在一条（3,20）-边.本学位论文主要研究了 1-平面图、IC-平面图的线性荫度问题;1-平面图、环面图的线性2-荫度问题;1-平面图的轻结构问题;共分成四章.在第一章中,我们给出了本文所涉及的基本概念与术语,简述了线性荫度问题、线性2-荫度问题、图的轻结构问题的研究现状,呈现了本文的主要结果.在第二章中,研究了 1-平面图与IC-平面图的线性荫度问题,证明了以下结果:（1）设G是Δ ≥ 13的1-平面图,则G满足LAC.（2）设G是Δ≠7,9的1-平面图,则G满足LAC.（3）设G是Δ≠7的IC-平面图,则G满足LAC.在第三章中,研究了 1-平面图与环面图的线性2-荫度问题,证明了以下结果:（1）设G是1-平面图,则（?）.（2）设G是环面图,则（?）.在第四章中,研究了 1-平面图的轻结构问题,证明了以下结果:（1）设G是δ ≥ 3的1-平面图,则G包含了一条（3,20-）-边,或（4,11-）-边,或（5,9-）-边,或（6,8-）-边,或（7,7）-边.此外,这里的上界20,9,8,7是最好的,11非常接近于最好的界.（2）设G是δ ≥2且没有4-圈的1-平面图,则G包含了一条（15-,15-）-边.
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