在上世界五十年代,Bellman [10]引入了解决一系列相关问题的数学技术-动态规划原理。它被广泛应用于很多优化问题中（包括最优控制问题）。Yong和Zhou[92]研究了随机控制问题,并且给出了它的动态规划原理和它相对应的HJB方程的粘性解。1990年,Pardoux和Peng[69]首先证明了系数满足Lipschitz条件的非线性倒向随机微分方程的解的存在唯一性。1992年,著名经济学家Duffle和Epstein也独立的引入了一类特殊类型的倒向随机微分方程用以刻画金融中的递归效用函数。随后,学者们也进一步的研究了不同条件下的这类方程的可解性及相关性质,并广泛应用于数理金融,随机控制和经济管理领域,使倒向随机微分方程理论得到了进一步的完善和发展。1992年,Peng[74]研究了消费函数是由一个倒向随机微分方程来刻画的随机递归的最优控制问题,并且给出了这类问题的动态规划原理和它相对应的HJB方程的粘性解。1997年,El Karoui,Kapoudjian,Pardoux,Peng和Quenez [46]首先提出了反射倒向随机微分方程的定义。在原来方程的基础上增加一个增过程K_t,产生一个向上的“推力”使得方程的解恰好能保持在一给定的过程（称为边界或障碍）的上方,且“推力”最小。此时方程表示为Wu和Yu [87]研究了这类消费函数带障碍的随机最优控制问题,其中它的消费函数是由一个带下反射边界的倒向随机微分方程刻画的。他们给出了这类最优控制问题的动态规划原理和相应的HJB方程的粘性解。然而,在经典的动态规划原理中还存在着一个比较大的困难。若这个HJB方程存在着经典解,那就意味着这个解必须是足够光滑的（达到方程中的可微性条件）。不幸的是,在许多情况下是达不到这个条件的。在随机的情况下,扩散项是不能够退化的所以说在一般情况下,HJB方程没有经典解。为了克服这个困难,在以前的文章中,作者都是给出了HJB方程的粘性解。在本文中,我们第一次尝试给出HJB方程的Sobolev弱解。另外一个问题是,在以前的文章中,严格控制中的最优解不一定存在,它必须要有一个Filipov凸性条件。没有这个条件,U中的最优控制就不一定存在。为了克服没有这个条件最优控制就不一定存在的困难,在本文中,我们讨论松弛控制。以下是本文的结构和主要结论。第一章:简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路。第二章:我们研究了随机松弛最优控制问题中的动态规划原理,并且证明了它的值函数是对应的HJB方程的Sobolev弱解。我们还考虑了,当消费函数是递归的情况下,HJB方程对应的Sobolev弱解的情况。定理2.2.4. （动态规划原理）在（A2.3）（A2.4）的假设条件下,对于任意的（t,x）∈[0,T)×Rⁿ都有成立。定理2.3.1.假设（A2.3）-（A2.4）成立并且值函数V∈C^1,2（[0,T]×Rⁿ）,则V是下面的二阶偏微分方程的解其中定理2.3.8. （HJB方程的Sobolev弱解）在（A2.5）-（A2.9）的假设条件下,由（2.7）式定义的值函数V（t,x）是偏微分方程（2.36）的唯一的Sobolev弱解.定理2.5.5.在（A2.5）（A2.6）和（A2.11）-（A2.13）的假设条件下,由（2.90）定义的值函数V（t,x）是偏微分方程（2.92）的唯一的Sobolev弱解.第三章:我们研究了随机递归松弛最优控制问题,其中它的消费函数是由一个带有限制的反射方程刻画。我们给出了该最优控制问题的动态规划原理,并且证明了它的值函数是对应的HJB方程的唯一Sobolev弱解。定理3.2.8.（动态规划原理）在（A2.3）-（A3.4）的假设条件下,对于任意的0＜δ≤T-t,值函数u（t,x）满足下面的动态规划原理定理3.3.6. （HJB方程的Sobolev弱解）在（A2.5）-（A2.6）和（A7.5）-（A3.8）的假设条件下,定义在（3.8）中的值函数V（t,x）是偏微分方程（3.15）的唯一的Sobolev弱解.第四章:我们研究了随机递归的零和微分对策和混合微分对策问题,并且得到了鞍点的存在性结果。我们应用的主要工具是倒向随机微分方程和带双边反射的倒向随机微分方程。作为我们主要的研究动机和应用背景,我们还讨论了当贷款利率高于存款利率时的美式期权定价问题。定理4.1.1. （Y^*,Z^*）是下面的倒向随机微分方程的解则Y₀^*是最优赔付J（x₀,u^*,v^*）,控制对（u^*,v^*）是这个递归对策的鞍点.定理4.2.1. (Y^*,Z^*,K^*+,K^*-)是下面的带反射的倒向随机微分方程的解满足（?）0≤t≤T, L_t≤Y_t^*≤U_t和（?）（Y_s^*-L_s）dK_s^*+=（?）（Y_s^*-U_s）dK_s^*-=0.我们定义τ^*=inf{s∈[0,T],Y_s^*=U_s}和θ^*=inf{s∈[0,T],Y_s^*=L_s}.则Y₀^*=J（x₀;u^*,τ^*;v^*,θ^*）,（u^*,τ^*;v^*,θ^*）是这个策略的鞍点。例4.3.1贷款利率高于存款利率时的美式期权定价问题.我们还给出了一个能精确计算鞍点的例子来证明我们的理论。