近年来,由于压缩传感、低秩矩阵恢复以及低秩张量恢复等稀疏恢复问题在众多实际领域中有广泛的应用,因而广为关注并得到了大量的研究.基于这些问题凸松弛模型的研究已经获得了丰硕的成果;而其非凸松弛模型比凸松弛模型有更大的优越性,但是非凸松弛模型相对于凸松弛模型更难求解.因而,基于这些问题非凸松弛模型的相关算法研究成为这一领域中主要的焦点问题之一.本文针对这三类稀疏恢复问题的非凸松弛模型,分别设计了相应的求解算法,证明了算法的收敛性质,初步的数值实验结果表明了所提出算法的有效性.具体地,论文内容如下:首先,论文讨论了熵函数的性质,建立了非凸lp拟范数极小化问题的一个光滑逼近模型,并针对该光滑模型给出了一般的光滑化算法框架,通过证明由该算法所产生迭代序列的任一聚点为lp极小化问题的稳定点,给出了算法的收敛性分析.文中还给出了光滑化问题稳定点中非零元素的下界估计,为算法求得稀疏解提供了进一步的保障.数值实验表明了所建立的模型和所提出的算法在用于稀疏信号恢复时的有效性.其次,论文建立了无约束L2-Mp极小化问题的一个光滑逼近模型,给出了模型中非凸正则项的次微分公式以及加权核范数的邻近算子,进而提出了求解无约束L2-Mp极小化问题的重新加权核范数极小化算法,并证明了由该算法所产生迭代序列的任一聚点为原问题的一个稳定点,保证了算法的收敛性.数值实验结果表明了所提算法与其他相关算法相比在求解矩阵填充和图像恢复问题时具有更好的恢复效果.最后,论文针对低Tucker秩张量恢复问题,建立了一个非凸的Lp松弛模型,通过引入一系列辅助变量,将其等价转化为一个具有可分结构的非凸极小化问题,进而提出求解该非凸极小化问题的精确和非精确的非凸交替方向法,并在一定条件下给出算法的收敛性.基于仿真数据和真实数据的数值实验均表明了非凸交替方向法用于求解低Tucker秩张量恢复问题时的有效性.