【摘 要】
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本文旨在使用变分方法研究广义拟线性薛定谔方程的驻波解的存在性和多重性.首先,我们把广义拟线性薛定谔方程的驻波解的求解问题归结为一类拟线性椭圆型方程的求解问题.其次,我们不但使用扰动方法证明了广义拟线性薛定谔方程的基态型驻波解的存在性,而且还应用畴数理论研究了方程解的个数与位势函数的拓扑结构之间的关系.最后,我们提出一种处理广义拟线性薛定谔方程的新方法并用此方法证明了广义拟线性薛定谔方程无穷多解的存
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本文旨在使用变分方法研究广义拟线性薛定谔方程的驻波解的存在性和多重性.首先,我们把广义拟线性薛定谔方程的驻波解的求解问题归结为一类拟线性椭圆型方程的求解问题.其次,我们不但使用扰动方法证明了广义拟线性薛定谔方程的基态型驻波解的存在性,而且还应用畴数理论研究了方程解的个数与位势函数的拓扑结构之间的关系.最后,我们提出一种处理广义拟线性薛定谔方程的新方法并用此方法证明了广义拟线性薛定谔方程无穷多解的存在性.本文共分四章,第一章介绍一些背景知识和本文的研究内容,其余各章的主要内容分别如下.第二章研究奇异扰动的广义拟线性薛定谔方程驻波解的存在性、多重性和解的集中行为.我们首先使用扰动方法研究常数位势方程基态正解的存在性并在此基础上证明井形位势方程基态正解的存在性.其次应用畴数定理证明方程的解的个数不少于位势函数的全局极小值点集的畴数.最后给出方程解的L∞估计并证明方程的解将会随奇异扰动参数趋于零而集中到位势函数的极小值点附近.第三章研究临界指数增长的广义拟线性薛定谔方程驻波解的存在性.我们发现了一个不可解问题并用对比的方法证明了一类临界指数增长的广义拟线性薛定谔方程的基态型驻波解的存在性.最后一章介绍一种处理广义拟线性薛定谔方程的新方式,即一种同时使用变量变换方法和非光滑变分方法的方式.作为这种方法应用的例子,我们证明了超四次增长的广义拟线性薛定谔方程无穷多解的存在性.
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