自然界中，极值现象随处可见．有关极值问题的研究自然也引起许多数学家的关注，经典的等周不等式就是极值现象的具体体现，它不仅是数学领域里重要的研究课题，同时也对其他学科的发展提供了重要的数学原理，特别是在探讨最优设计、最佳方案等方面充分显示了其价值．　　 有关平面凸集的极值问题已取得很大进展．本文简略的列举了平面凸集常见的几何量之间的关系不等式，在此基础上，引入两个新的几何量—平面凸集的最大内容正三角形和最大内容正方形，分别研究了新几何量与平面凸集的常见几何量之间的关系，并且找到了极值情形．　　 在平面闭凸曲线的整体理论中，常宽曲线是备受关注的．圆是常宽凸集，而Reuleaux三角形是非圆的常宽凸集，它具有许多重要的性质，是许多极值问题的极值集．包含测度在解决许多复杂的几何概率问题中有重要的应用，平面凸域的包含测度及其应用已有许多结果，但绝大多数属于多边形凸域．ReuleauX三角形是以曲线为边界的凸域，因此研究它的包含测度具有很大意义．本文利用广义支持函数和限弦函数等工具，得到了Reuleaux三角形的包含测度，并给出了在几何概率中的应用。