在本论文中,我们主要研究几何色散方程及其应用.色散方程来自于物理和工程的波传播现象,例如水波、光学、激光、铁磁、粒子物理、广义相对论等等.Schrodinger映射流和波映射方程是几何色散方程中两个典型的模型,其中Schrodinger映射流刻画了铁磁链的运动,而波映射方程则是物理中熟知的非线性σ-模型,与Einstein引力方程的某些特殊情形有关.其它的几何色散模型还包括 Maxwell-Klein-Gordon 方程、双曲 Yang-Mills 方程、Maxwell-Dirac 方程、Landau-Lifshitz流等模型.同时几何色散方程在流体中也广泛存在,如双曲液晶、斜平均曲率流等.其中一个关键的问题是底流形和目标流形的几何如何影响几何流的长时间行为.在这个领域已经有了很多工作,如Tataru、Tao、Kenig、Merle、Klainerman等都在此领域作出了突出贡献.它已经成为色散方程领域的一个重要方向.在本论文,我们将考虑H2→S2的等变Schrodinger映射流和三维双曲Ericksen-Leslie液晶方程,并证明小初值整体适定性.首先,我们考虑从H2到S2的Schrodinger流,并证明其局部适定性和等变条件下的小初值整体适定性.这里我们利用McGahagan[64]中介绍的逼近迭代格式和平行移动方法证明此Schrodinger映射流的大初值局部适定性.接着,我们在Coulomb标架下将对等变的Schrodinger流的研究转化成对一个带位势的耦合Schrodinger方程的研究.对此方程,通过Strichartz估计和扰动方法可以得到其小初值整体适定性.从而由此方程的解构造出Schrodinger流的解并最终给出Schrodinger流的整体存在性.其次,双曲Ericksen-Leslie液晶方程是Navier-Stokes方程耦合映到S2的波映射的系统,是由Ericksen-Leslie推导出的,它既有不可压模型也有可压模型.尽管抛物型液晶模型已经被广泛研究,但双曲型液晶的研究仍方兴未艾.这里我们分别对不带运动传输项的不可压液晶模型和最简化的可压液晶模型证明了小初值整体正则性.由于此方程是一个拟线性方程,我们的论证结合了向量场方法和Fourier分析.此论证过程主要依赖于高阶能量估计和衰减估计的相互作用,这是基于时空共振方法的思想.时空共振方法是经Germain-Masmoudi-Shatah[21-23]发展成熟并在Schrodinger方程、Euler-Maxwell方程、水波等方程中广泛使用的一种方法.对于不可压液晶方程,衰减估计主要通过耗散性得到,而对于可压液晶方程,由于低频部分和高频部分分别主要展现了波传播和耗散的特性,因此衰减估计需要通过分别考虑高频和低频部分,再利用耗散性得到.为了得到能量估计,尽管时间共振集没有相匹配的零结构,但是我们可以利用空间共振集是空集以及耗散效应证明能量是缓慢增长的.从而由上面两部分得到小初值整体适定性.