【摘 要】
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稀疏约束优化是指带有稀疏约束的一类优化问题,它被广泛应用于信号和图像处理、机器学习、经济学、统计学等众多领域.经过十多年的发展,稀疏优化已经成为当下热门的研究方向.然而,由于100范数所蕴含的组合性质,稀疏约束优化问题是一个非凸非连续的NP-难问题.此时,传统的连续优化理论与算法已然捉襟见肘,这给研究者们带来极大挑战,同时也为我们探讨新的优化问题和方法提供了机遇.本文较为系统地研究了稀疏约束优化的
【基金项目】
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国家自然科学基金（11571033,11671029）； 北京市自然基金（重点项目）（Z190002）:“监督学习的降维理论与优化方法”；
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稀疏约束优化是指带有稀疏约束的一类优化问题,它被广泛应用于信号和图像处理、机器学习、经济学、统计学等众多领域.经过十多年的发展,稀疏优化已经成为当下热门的研究方向.然而,由于100范数所蕴含的组合性质,稀疏约束优化问题是一个非凸非连续的NP-难问题.此时,传统的连续优化理论与算法已然捉襟见肘,这给研究者们带来极大挑战,同时也为我们探讨新的优化问题和方法提供了机遇.本文较为系统地研究了稀疏约束优化的拉格朗日理论与算法,包括拉格朗日对偶理论、最优性条件和拉格朗日-牛顿算法等.首先,针对稀疏线性规划问题,本文通过把稀疏集改写为分片形式,给出了它的对偶问题的显示表达式.该对偶问题是一个无约束的分片线性凸规划,并且在双对偶稀疏一致性的条件下,满足强对偶定理.基于强对偶性,进一步给出了相关问题的鞍点定理并分析了两种鞍点问题的稳定点.其次,针对稀疏非线性规划问题,本文通过拉格朗日函数建立了强β-拉格朗日稳定点意义下的一阶最优性条件并且将其等价转化为拉格朗日方程.随后讨论了拉格朗日方程相关的函数的非奇异性等数学特性.最后,基于上述获得的理论结果,本文提出了拉格朗日-牛顿算法（LNA）.并在一定的的条件下,建立了LNA的局部二次收敛性和复杂度分析.为了表明LNA算法的有效性和快速性,本文将LNA应用到三类实际问题:压缩感知问题、稀疏投资组合问题和稀疏主成分分析,并取得了很好的测试结果.
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