弹性波和声波的正演数值模拟是地震勘探学和地震学的重要基础,在油气矿藏勘探,自然灾害预测等领域具有举足轻重的作用。一般而言,正演方法分为时间域和频域两种方法。时域数值技术在地震波和声波的仿真中已被国内外的学者广泛研究并被大量应用于实际问题。然而不幸的是,频域算法目前国内外的研究成果并不多见。实际上在很多应用领域,频域方法往往会更有效。例如在一些应用中,当我们计算的问题涉及窄带仿真,多源问题模型以及衰减介质处理等等,这些情况在频域里可以得到更加效率和精确的处理。在本项工作中,我们首先发展了频域谱元方法在各向异性,非均匀,衰减弹性波和声波中的应用。谱元法(SEM)建立在有限元法的基础之上,但由于谱元法选用了 GLL项式作为基函数,使得这种方法的数值误差随着谱元法阶数提升可以呈现指数下降,从而使得这种方法具有很高的精度和计算效率。我们将各向异性的完美匹配层(PML)推广到频域谱元中,用来模拟波在无限弹性介质中传播问题,数值例子表明,我们发展的各向异性的PML具有非常好的精度和性能。相对比于传统的有限元方法,谱元法中的未知量会大幅度下降,同时却可以保持更高的精度。所以谱元法相比通常的有限元法具有很大的优越性。尤其是在处理一些各向异性介质问题,通常的有限元法收敛很慢,甚至会导致错误的结果,但我们发展的谱元法仍然保持快速收敛和高精度的特征。为了处理声固耦合问题,我们将基于间断伽辽金的区域分解方法推广到声固耦合的计算。数值结果表明,我们提供的算法对于计算弹性波和声波问题相比传统的算法具有很大的优势,尤其是精度可以大大提高,而计算花费则大幅度降低。其次,我们将频域谱元法推广到声子晶体中能带的计算。这是首次在声子晶体能带分析中引入谱元方法。目前常用的声子晶体能带计算方法主要有平面波展开法(PWE),多重散射法(MST),时域有限差分法(FDTD),有限元法(FEM)等。但这些方法要么精度低,要么应用范围受到限制。基于Bloch原理,我们推导出了 Navier方程适用于周期介质的一个简明,直观的各向异性谱元离散弱形式方程。在我们发展的谱元法中,由于使用了 GLL多项式因此形成了对角形质量矩阵。这样以来,我们的特征问题从一般的特征问题转化为常规的特征值问题,_从而可以有效提高计算的效率。另外根据声子晶体不同的几何结构,我们在谱元使用了三种网格,即8-节点六面体网格,27-节点网格曲六面体和解析网格。这样以来,我们根据不同的几何形状,可以选择不同的网格来俘获问题模型的几何结构,节约自由度而提升计算速度和效能。文中,为了证实该方法的精度和效率,我们也给出了一些计算实例,其中包括计算正方晶格以及三角晶格的声子晶体板,简单立方晶格(SC),体心晶体格(BCC),面心晶格的三维声子晶的能带等等(FCC),所有的数值结果表明谱元法在计算声子晶体的能带,比传统的有限元法在精度和计算计算效率上具有非常明显的优越性。本论文的第三项主要工作是提出了基于频域谱元法的弹性波区域分解技术。对于频域的谱元法,对于其他的频域数值方法已经具有很明显的优势。但我们知道,频域有限元方法(包括谱元法)都有一个共同的特点,就是需要对离散的线性系统方程组进行求解。为了保证精度和效率,我们一般倾向于直接法求解,但这会带来对计算机资源的过度需求。在本文的研究工作中,我们提出了建立的频域谱元法基础上的弹性波区域分解技术(DDM-SEM)。这个方法结合了谱元法的高精度和区域分解法的高度并行的特点。因此这个方法非常适合弹性波大尺度规模的精确和效率计算。区域分解技术将原问题模型划分为一些设计好的均衡子区域。我们对于每个子系统独立使用谱元法,而对于相邻接的子区域使用频率域版本的Riemann solver作为传输条件。对于提出的这种方法,我们可以在不同的子区域之间使用非一致网格并且不同的子区域可以使用不同的插值阶数。这样以来,我们就可以最大化的提高我们的计算效率。通过各子区域内部变量和边界变量的分离,对于最终离散的线性系统我们发展了一种高效并具有天然并行性的直接算法块LDU直接求解器。我们通过若干数值例子验证该方法的正确性,精确性和高效性。因此,我们所提出的DDM-SEM算法对于大尺度弹性动力系统的精确效率求解具有乐观的应用前景。