对称性是概率模型中的定性特征,其在数学和统计学中都起着非常重要的作用。因为对称性是许多统计模型的一个重要假设。例如,对称性假设在推导位置参数的点估计或区间估计中是必不可少的。在回归问题中,线性回归模型往往需要假设残差服从正态分布或关于零对称的对称分布。在非参数统计中,对称性是符号秩方法有效性的一个关键假设^[1,2]。如Wilcoxon提出的符号秩检验^[3]。Wilcoxon符号秩检验用于检验两个具有未知分布函数的样本之间的差异,其中最重要的假设是样本来自于对称总体。此外,位置参数的Mann-Whitney检验也需假设总体的对称性。为了客观地衡量一个概率密度函数是否比另一个概率密度函数更对称或者更不对称,对称性的数学量化是必不可少的。本文主要研究了密度函数对称或不对称的一般度量。我们提出将连续型随机变量的密度函数与分布函数之间的k阶相关系数作为对称性和不对称性的度量。我们所做的主要工作如下:（1）首先,我们提出连续型随机变量的密度函数与分布函数之间的k阶相关系数η_k的矩估计,并得出了估计量的一些渐近结果。（2）然后,我们使用经验似然法对k阶相关系数η_k进行统计推断,并证明了该经验似然统计量渐近服从标准卡方分布。（3）接下来,我们考虑参数回归模型中模型误差的k阶相关系数η_k的估计,以检验该参数回归模型中真实模型误差的密度函数是否对称。我们通过残差对模型误差进行估计,得到残差的k阶相关系数的估计值的渐近结果,并构造了基于经验似然的置信区间。（4）接着,我们进行了模拟分析,以检验文中所提出的方法的数值表现。我们通过模拟发现₁η并不总是最好的,当样本量较大且未知密度函数对称时,对于估计量和置信区间,η_0.5的数值表现通常优于₁η。最后,我们根据本文所提出的方法对一组空气质量数据集进行统计分析。