本博士论文主要研究在三角函数空间中构造高精度有限差分加权基本无振荡（TWENO）格式及其在双曲守恒律方程,高频振荡问题以及各类极端问题中的应用。与Jiang和Shu构造的经典有限差分加权基本无振荡（WENO）格式相比,本论文主要提出的两类新型TWENO格式不仅可用于求解一般的双曲守恒律方程,还可以高精度数值模拟各种高频振荡问题。此外,这些新型的高精度有限差分TWENO格式也可有效应用于求解常见的低压强,低密度或低能量的极端问题。本论文的研究内容如下:首先,构造了一类高精度数值模拟双曲守恒律和高频振荡问题的三角函数WENO格式。该新型有限差分TWENO格式比基于代数多项式插值的经典WENO格式更易于模拟波类或高频振荡问题。该新型TWENO格式在解的光滑区域可以获得高阶数值精度,在激波和接触间断附近保持基本无振荡的性质。虽然该新型五阶TWENO格式在空间重构时与经典五阶WENO格式采用了同样五个点的信息,但在经典算例中能得到更低的L~1范数和L∞范数数值误差。新型TWENO格式采用的线性权不再需要通过繁冗的数值计算得到最优解,可设为满足和为1的任意正数。该新型有限差分TWENO格式比经典的WENO格式更简便,鲁棒性更强,且更易于推广到高维空间。本论文采用该新型TWENO格式能有效数值模拟大量经典的算例,充分验证了该新型TWENO格式的可行性和高效性。其次,构造了一类新型高精度有限差分多分辨率TWENO格式用于计算双曲守恒律和高频振荡问题。该类新型多分辨率TWENO格式不仅具有上述TWENO格式所具有的优良性能,而且在经典算例中能得到更低的L~1和L∞数值误差。它可以将计算量主要集中在包含强间断的小区域内,有效提高格式的计算效率降低编程难度。本论文提出的新型高精度有限差分多分辨率TWENO格式相比经典的WENO格式更简便,鲁棒性更强,且更易于推广到高维空间。本论文采用该新型有限差分多分辨率TWENO格式能有效模拟各种经典的双曲守恒律问题,充分验证了该类高精度有限差分三角函数WENO格式的有效性和可行性。最后,本论文将前面构造的两类全新的有限差分TWENO格式不仅推广到包含高频振荡和低压强,低密度或低能量等极端问题的数值求解上,还推广到带有源项的Euler方程各种极端问题的高精度数值计算。用本论文提出的两类新型TWENO格式对极端问题进行模拟时可采用正常的CFL数,不再需要引入阈值来触发保正机制的使用,对控制方程的性质不再需要进行深入探讨,可有效避免计算流场中因使用高精度数值计算格式而导致负密度和负压强等非物理现象的出现。本论文数值模拟了各种经典的极端问题,其数值结果充分展示了这两类新型TWENO格式的良好性能。