【摘 要】
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许多经典的非线性码如Nordstrom-Robinson码,Kerdock码,Preparata码,Goethals码及Delsarte-Goethals码,有很好的纠错能力,这些码可以通过Gray映射,映成Z4上的线性码,从而激发了人们对Z4及Z8上的循环码的广泛研究.二次剩余码是一类由幂等生成元定义的循环码,二元二次剩余码相对于码长有很大的极小距离,译码比较简单.虽然在一些相关文献资料中,已经
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许多经典的非线性码如Nordstrom-Robinson码,Kerdock码,Preparata码,Goethals码及Delsarte-Goethals码,有很好的纠错能力,这些码可以通过Gray映射,映成Z4上的线性码,从而激发了人们对Z4及Z8上的循环码的广泛研究.二次剩余码是一类由幂等生成元定义的循环码,二元二次剩余码相对于码长有很大的极小距离,译码比较简单.虽然在一些相关文献资料中,已经得到Z4,Z8上的循环码和二次剩余码的一些性质,但对于一般环Z2k上的二次剩余码的相关结果尚未在文献中发现,主要困难在于增加了参数k.本文主要贡献在于定义了Z2k上的二次剩余码,证明了它的存在性,从而证明了它与域上的二次剩余码有类似的性质,并给出了一个重要的自同构群,推广了文献中已有的关于Z4和Z8上的二次剩余码的一些结果. 首先,通过对一个同余方程组的解的判断,确定了Z2k上的二次剩余码只有4个,并且利用它们之间满足的关系式证明了它们与域上的二次剩余码有类似的性质. 其次,根据二次剩余码的性质,证明了相同码长的二次剩余码的扩展码彼此等价,给出了它们的一个重要的自同构群.
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