框架理论作为一个新兴的研究方向,涉及泛函分析、算子理论、信号处理、编码理论等多门学科。类似于基,赋范线性空间或内积空间中的任意一个元素都可以由框架表示,但与基不同的是,表示不一定是唯一的。正是由于这一优良特性,近年来框架正逐步取代基被广泛地应用在信号处理、传输信道容量、编码理论等领域中。随着现代信息技术的发展,对框架理论的研究虽已逐渐成熟,但为了解决更复杂的实际问题,仍需要对框架理论展开进一步探究。本学位论文进一步探究框架的理论性质,并研究框架在数据丢失问题中的应用,具体的研究内容分为以下几个方面:（1）对Hilbert空间中的g-框架展开研究。一方面,对一类新型的g-框架,即相位可测的g-框架的若干性质与构造方法展开讨论,进一步研究其扰动稳定性和收敛特征,并探究使得g-框架相位可测的充要条件。另一方面,将传统框架算子距离问题的模型进行改进,得到有关g-框架算子距离问题的新模型,并分别探讨此模型下g-框架算子距离的局部最小值和全局最小值,以及它们之间的关系。本论文不仅将传统框架的部分性质推广到g-框架中,也得到了g-框架所特有的性质。这些性质体现了g-框架相较于传统框架的优势,以便将其应用在合适的领域中。（2）对Hilbert空间中的K-框架展开研究。一方面,从正数序列和Bessel序列出发,研究K-框架的和及其稳定性,探究使得若干K-框架的和仍然是K-框架的条件。另一方面,将传统框架的算子表示推广到K-框架中,探索K-框架算子表示的若干性质,以及使得K-框架及其对偶具有算子表示的条件。值得注意的是,与传统框架不同,当K-框架具有算子表示时,用于表示的算子与算子K有着密不可分的关系。这些性质不仅反映了K-框架和传统框架的相似与不同,也为后文K-框架的应用奠定了基础。（3）对框架理论在数据丢失问题中的应用展开研究。针对数据传输中出现的问题,以提高数据复原质量为目标,在前文理论取得进展的基础上,为数据传输提供更优质的编码系统。一方面,将K-框架作为编码框架,研究其在数据丢失问题中的应用。针对数据的概率丢失问题,建立关于K-框架的概率丢失模型,在此模型的基础上构造优质的编码框架,即概率统一的Parseval K-框架,并证明它的存在性。接着探究使得它的最优对偶框架是标准K-对偶的条件,这样可以简化丢失问题,减少计算量。针对概率总和不等于一的情况,将概率丢失过程模拟成马尔可夫过程,构造此模型下的优质编码框架,即概率模型的Parseval K-框架,证明它的存在性,探讨当它作为编码框架时的最优对偶问题,并用数值实验对比几类编码框架的重构效果,实际上概率模型的Parseval K-框架在解决数据的概率丢失问题上更有优势。另一方面,将融合框架作为编码框架,研究其在数据丢失问题中的应用。建立关于融合框架的概率丢失模型,构造概率统一的Parseval融合框架,并得到使得它的标准对偶框架是最优对偶框架的条件。基于上述讨论,在处理数据的概率丢失问题时,可以根据不同情况选择合适的编码和解码框架,以使得重构误差尽量小。