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非线性泛函分析作为现代数学的一个重要分支,包括拓扑度理论、锥拉伸与锥压缩不动点理论、临界点理论、锥理论、半序方法等诸多内容.对非线性泛函分析的研究,在国内外都取得了丰富的研究成果.1921年L.E.J.Brouwer首先对有限维空间的连续映射建立拓扑度.1934年J.Leray和J.Schauder将Brouwer的理论推广到无穷维空间,建立了Leray-schauder度.国内郭大钧教授、张恭庆教授、钟承奎教授、葛渭高教授等在非线性泛函分析方面也取得了丰硕的研究成果.非线性微分边值问题是非线性泛函分析研究的一个重要领域,起源于数学,物理学等许多应用学科.由于它在理论上和应用上的重要价值,一直被众多专家学者所关注并取得了许多重要的研究成果.本文主要应用锥上不动点指数理论,研究非线性边值问题正解和非平凡解的存在性,共分为四章：在第一章中,运用锥不动点理论计算一类全连续场的不动点指数,对[68]的结果进行改进.最后,把抽象结果应用于研究非线性常微分方程Sturm-Liouville边值问题正解的存在性.在第二章中,研究如下高阶常微分方程组边值问题正解的存在性.其中n≥2；f∈C([0,1]×R+n,R+)(R+：=[0,∞)),ai,bi,ci,di≥0(i=0,1….,n-1),且△i=aidi+bici+aici>0.本文利用不动点指数理论证明了上述问题正解的存在性,并在此提出了更一般的边界条件,即边界条件的系数各不相同.从而推广了[791的结果.在第三章中,研究如下高阶拟线性方程组边值问题正解的存在性：其中n≥2,m≥2,φ：R+→R+,是凹的或者是凸的同胚映射,且f,g∈C([0,1]×R+×R+,R+),(R+：[0,∞).利用Jensen积分不等式对正解做先验估计,在此基础上用不动点指数理论证明主要结果.在第四章中,运用锥不动点理论计算一类全连续场的拓扑度,对[39]的结果进行了推广.最后,把抽象结果应用于研究非线性Hammerstein积分方程组非平凡解的存在性.