富勒烯可以说是二十世纪最重大的科学发现之一，它的主要发现者Kroto、Smally和Curl共享了1996年的诺贝尔化学奖。这族球状碳分子，在物理化学、材料科学，甚至是生物学、医学、天文学和地质学等领域都产生了深远影响。富勒烯结构的稳定性问题是富勒烯化学领域的基础性研究课题，图的不变量是重要的预测指标。本文充分利用富勒烯分子图的结构特点，证明了两种重要的图不变量之间的等价关系；通过富勒烯邻接矩阵积和式的界估计结果及其与富勒烯Kekule′数之间的定量关系，给出了富勒烯Kekule′数的一个新的下界估计。本文还通过富勒烯分子图衍生出的各种分子图不变量，提出了富勒烯图不变量与富勒烯稳定性之间关系的优化模型，表明富勒烯图不变量确实可以在一定程度上反映富勒烯的稳定性。本文研究富勒烯分子图的图不变量的若干数学问题及其统计分析，主要创新点有：1.证明了广泛使用的富勒烯稳定性指标Fowler-Manolopoulos预测子与一种简单结构参数的等价性；2.给出了富勒烯的Sachs图计数的上界估计，并结合富勒烯积和式的相关结论，得到了富勒烯Kekule′结构数目前最好的下界估计；3.对现有的富勒烯图的各种不变量进行了大量计算，从而为基于数据系统研究富勒烯的性质奠定坚实的基础；4.系统研究了多种富勒烯图不变量与富勒烯结构稳定性之间的关系，建立了两者间关系的优化模型，并采用统计方法求解；统计分析表明，几种富勒烯图不变量确与富勒烯的稳定性具有更密切的关系，可以分辨出C₆₀～C₁₀₀间90%以上具有更强稳定性的富勒烯。