【摘 要】
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Helmholtz方程在电动力学中有十分重要的应用,特别是在光学和涉及时谐波传播的声学中有较为广泛的应用.Helmholtz系统是不定的,当波数较大时,解是高度震荡的,对高波数的Helmholtz方程设计一个高效的数值算法是极具挑战性的.弱伽辽金有限元方法（Weak Galerkin finite element method,简称WG）由王和叶首次提出并用于求解二阶椭圆问题,后被广泛应用于求解各
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Helmholtz方程在电动力学中有十分重要的应用,特别是在光学和涉及时谐波传播的声学中有较为广泛的应用.Helmholtz系统是不定的,当波数较大时,解是高度震荡的,对高波数的Helmholtz方程设计一个高效的数值算法是极具挑战性的.弱伽辽金有限元方法（Weak Galerkin finite element method,简称WG）由王和叶首次提出并用于求解二阶椭圆问题,后被广泛应用于求解各类偏微分方程.最近由宋和刘等人进行创新,在网格单元内部边考虑双值函数,并结合间断伽辽金有限元方法（Discontinuous Galerkin finite element method,简称DG）的思想,引入罚项,提出超罚弱伽辽金有限元方法（Over-penalized Weak Galerkin finite element method,简称 OPWG）.本文利用超罚弱有限元方法在二维有界多边形区域中求解Helmholtz方程,选取逼近元（Pl,P1,[Pl-1]2）（l≥1）,内部单元边采用双值函数,这是与WG方法的一个显著区别,再建立超罚弱有限元格式,在该格式中我们加入罚项保证稳定性,严格地建立误差方程,通过稳定性分析进而得到解的存在唯一性,细致地对能量范数和L2范数进行误差分析,在罚参数β0 ≥2l+1时,误差在能量范数下达到最优收敛阶O（hl）,误差在L2范数下达到最优收敛阶O（hl+1）.最后进行数值实验,选取线性元对不同的数值算例进行收敛阶验证,均与理论结果保持一致,在罚参数β0 ≥3时,误差在能量范数下达到最优收敛阶O（h）,误差在L2范数下达到最优收敛阶O（h2）,进一步验证理论结果和算法的有效性.
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