本论文主要研究了欧几里德算法及其相关的问题。在第一章,我们简单介绍了欧几里德算法及其应用。利用欧几里德算法,可以判定正整数序列a1,…,am(1<a1<…<am)中是否存在一个数ai(1≤i≤m)与其他所有的数互素。注意到m(m>1)个随机的正整数两两互素的概率是1/ζ(m),其中ζ(.)是Riemann Zeta函数。这样,在正整数a1,…,am中,有一个正整数ai与其他数都互素的概率是(1/ζ(2))m-1.若存在一个自然数r(1≤r≤m)使得ar与序列中的其他数都互素,则称1<a1<…<am为W序列。在第二章中,我们进一步分析了W序列的性质。我们证明对于整数n>1,m≥1,如果有一个素数在序列m+1,…,m+n中,那么这个序列是一个W序列。这样,判定一个连续正整数序列是否是W序列,只需要考虑连续合数的情形。关于连续合数,1969年,Grimm猜想：如果m+1,…,m+n是连续合数,那么存在n个不同的素数p1,…,pn使得m+j被pj(1≤j≤n)整除。这蕴含了n个连续合数的乘积,至少有n个不同的素因子。Grimm证明m>nn-1时,他的猜测成立。1971年,Erdos和Selfridge利用Hall定理证明m>nπ(n)时,Grimm猜测成立。我们利用二项式以及高斯函数的性质证明：当m>∏p≤np[logpn]时,二项式系数((?))有表示式其中ai(1≤i≤n)满足注意到nπ(n)>∏p≤np[logpn],这样,我们细化了Erdos和Selfridge的结果。在算术级数情形,1977年Langevin证明：设n>1,gcd(a,b)=1,如果a+bi(i=1,…,n)都不整除∏p≤n-1p[logp(n-1)],那么存在n个不同的素数p1,…,pn使得a+bj被pj(1≤j≤n)整除。我们进一步证明：设n>1,gcd(a,b)=1,如果a+bi(i=1,…,n)都不整除∏p≤n-1p[logp(n-1)],那么∏i=1na+bi/i可以表示为其中A=∏i=1nai,gcd(A,B)=1,ai(1≤i≤n)满足这样,我们也细化了Langevin的结果。利用非连续整数情形的W序列我们研究了Goldbach猜想与算术级数的最小素数问题之间的内在关系。1742年,Goldbach猜想每个大于4的偶数2n是两个素数的和。因为下面的情形是平凡的：对于无穷多偶数2p,2p=p+p(其中p是素数),由此我们给出Goldbach猜想的一个变体：每个大于6的偶数2n是两个不同素数的和。这蕴含了对于大于5的整数n,存在一个自然数r(1≤r≤k=π(n-1)-1)使得2n-pr与2n-p1,…,2n-pr-1,2n-Pr+1,…,2n-pk都互素,其中p1,…,pr-1,pr,Pr+1,…,pk是小于n的全体奇素数,而pr满足gcd(pr,n)=1.也就是说2n-p1,…,2n-pr-1,2n-pr,2n-pr+1,…,2n-pk是一个W序列。令k,l是满足(k,l)=1和1≤l≤k-1的正整数,记p(k,l)为使得p≡l(modk)成立的最小素数p,p(k)为所有p(k,l)的最大值,其中l满足(k,l)=1,1≤l≤k-1.1944年,Linnik证明p(k)<kL,其中L是一个绝对常数；1957年,潘承洞宣布L≤10000；1958年,他首次定出L≤5448；1992年,Heath-Brown证明p(k)<<k5.5Xylouris将Heath-Brown的结果改进到p(k)<<k5.2.Kanold猜测(也由Schinzel和Sierpinski独立发现)：对于每个大于1的正整数k,p(k)<k2.Chowla证明了在广义黎曼假设下,对于任意的∈>0,有p(k)<<k2+∈,他进一步猜测p(k)<<k1+∈.这样,Chowla猜想蕴含了存在正的绝对常数c1,当k>c1时,p(k)<k1.5.特别地,对于任意满足0<ε<0.5的正常数ε,存在正的绝对常数c2,当k>c2时,p(k)<k2-ε.利用Bertrand-Chebyshev定理,素数定理等经典数论结果,我们证明当p≥48673为素数时,对于任意满足1≤a<p1.5的整数a,存在与a互素的素数q使得4q3<p；并结合算术级数中的素数定理证明当整数n>5时,如果2n-p1,…,2n-pr-1,2n-pr,2n-pr+1,…,2n-pk是一个W序列,并且当k>c1时,p(k)<k1.5,那么每一个充分大的偶数可以表为两个不同奇素数的和。我们进一步证明：对于任意满足0<ε<0.5的正常数ε,存在正整数c3,使得当n≥c3时,如果整数m小于n2-ε,那么2(1/ε)(q(m))(2-ε)/ε<n,其中q(m)是与m互素的最小素数。利用这个结果我们证明：当整数n>5时,如果2n-p1,…,2n-pr-1,2n-pr,2n-pr+1,…,2n-pk是一个W序列,并且当k>c2时,p(k)<k2-ε,那么每一个充分大的偶数可以表为两个不同奇素数的和。而如果假定n>5时,2n-p1,…,2n-pr-1,2n-pr,2n-pr+1,…,2n-pk是一个W序列,并且当k>1时,p(k)<k2,则可证明每个大于2的偶数可以表示成一个素数与不超过两个素数的乘积的和。设k,l是互素的两个正整数,满足1≤l<k,Qi是第i个形如kx+l的素数。我们提出Goldbach猜想的一个算术级数类比：对于每个充分大的正整数n,2(kn+l)能表示为两个不同素数p,q的和,其中p,q都是形如kx+l的素数。这个类比蕴含了存在正常数c4使得当n>c4时,有r>1使得kn+l>Qr,gcd(kn+l,Qr)=1,并且2(kn+l)-Qr与每个2(kn+l)-Q都互素,其中Q遍历形如kx+l且不同与Qr的素数,且满足Q≤kn+l.即,当n>c4时,2(kn+l)-Q1,…,2(kn+l)-Qr,…,2(kn+l)-Qh是一个W序列,其中Qh是小于或者等于kn+l的最大的形如kx+l的素数。我们证明对于给定的任意小的正常数ε,存在仅仅依赖于ε,k的正整数Cε,κ,使得对于≥Cε,κ的任何素数p,以及满足m<k3-εp2-ε的正整数m,有2(1/ε)(Q(m))(2-ε)/εk(2-ε)/ε<p,其中Q(m)是与m互素的最小的形如kx+l的素数。由此我们证明当n>c4时,如果2(kn+l)-Q1,…,2(kn+l)-Qr,…,2(kn+l)-Qh是一个W序列,并且当k>c2时,p(k)<k2-ε,那么对于每个充分大的正整数n,2(kn+l)能表示为两个不同素数p,q的和,其中p,q都是形如kx+l的素数,gcd(k,l)=1.在第三章,我们考虑了素数的无穷性问题。视整数x为Z上最简单的从Z到Z的多项式映射：f(x)=x,注意到这个映射可以取无穷多素数值。更一般地,考虑Zn上的多项式映射其中f1,…,fm∈Z[x1,…,xn],x=(x1,…,xn)∈Zn.怎样确定f1(x),…,fm(x)使得对于无穷多的x,f1(x),…,fm(x)同时表示素数?这导致了其充分条件的研究。在f(x)的定义域为正整数集N的情形,1857年,Bouniakowsky猜想：如果f(x)是一个首项大于0,次数大于1的不可约多项式,并且对于每一个正整数k,存在正整数n使得gcd(f(n),k)=1,那么有无穷多个正整数x使得f(x)为素数。1904年,Dickson提出了下面的猜想：Dickson猜想：设m≥1,fi(x)=ai+bix(i=1,…,m),其中ai和bi都是整数,bi≥1,如果对于每一个正整数k,存在正整数n使得gcd(∏i=1mfi(n),k)=1,那么有无穷多个正整数x使得f1(x),…,fm(x)同时为素数。1958年,Schinzel和Sierpinski推广了Dickson猜想到非线性情形。但是对定义域为Zn的多项式映射情形,鲜有文献研究。2006年,Green和Tao推广Hardy-Littlewood猜想到多变元情形：如果有无穷多个整点x=(x1,…,xn)∈Zn使得同时为素数,那么存在与有关的正常数CF,使得当h→∞时,其中P是全体正素数的集,f1,…,fm是Z[x1,…,xn]中不同的元。基于Green和Tao的工作,可以期待在高维情形有个类似的素数定理。然而,本文关心的是更基本的问题：研究多项式映射F=(f1,…,fm)表示无穷多素点(一个素点就是一个向量,它的每个分量或者坐标都是素数)的充分条件。我们主要考虑了F是线性多项式映射的情形(如果f1,…,fm都是Z[x1,…,xn]中的线性多项式,那么称F是Zn上的线性多项式映射)。利用下面的原理：设M是一个n行n+1列的矩阵,如果M每一行中最多一个元素有某种性质P,那么M中必定至少有一列的元素都没有性质P,我们证明了Dickson猜想有下面的等价形式：Dickson猜想的等价形式：设m≥1,fi(x)=ai+bix(i=1,…,m),其中ai和bi都是整数,如果存在一个正整数c5使得对于每个≥c5的整数k,存在一个正整数y使得f1(y),…,fm(y)都大于1并且属于Zk*={x|1≤x<k,gcd(x,k)=1},那么有无穷多个正整数x使得f1(x),…,fm(x)同时为素数。如果把Dickson猜想中fi(x)=ai+bix(i=1,…,m)的定义域N放宽到Z的情形,那么Z上的Dickson猜想可以表达如下：Z上的Dickson猜想：设m≥1,fi(x)=ai+bix(i=1,…,m),其中ai和bi都是整数,bi或者都大于0或者都小于0。如果对于每一个正整数k,存在整数n使得gcd(∏i=1mfi(n),k)=1,那么有无穷多个整数x使得f1(x),…,fm(x)同时为素数。可证Z上的Dickson猜想有下面的等价形式：Z上的Dickson猜想的等价形式：设m≥1,fi(x)=ai+bix(i=1,…,m),其中ai和bi都是整数,如果存在一个正整数c6使得对于每个≥c6的整数k,存在一个整数y使得f1(y),…,fm(y)都大于1并且属于Zk*={x|1≤x<k,gcd(x,k)=1},那么有无穷多个整数x使得f1(x),…,fm(x)同时为素数。基于Z上的Dickson猜想的等价形式,我们将N上的容许多项式映射的概念扩展到Zn上：设F=(f1(x),…,fm(x))是Zn上的多项式映射。如果对于任意的正整数r,存在整点x=(x1,…,xn)∈Zn使得那么称F是容许的。显然F表示无穷多素点的必要条件为“F是容许的”。Dickson猜测当F为N上的线性多项式映射时,“F是容许的”是F表示无穷多素点的充分条件。如果存在正整数C,使得对于每个≥C的整数k,都存在整点x=(x1,…,xn)使得f1(x),…,fm(x)都大于1并且属于Zk*={x|1≤x<k,gcd(x,k)=1},则称F是强容许的。这样,F是强容许的必定也是容许的。注意到Z上的线性多项式映射是容许的当且仅当它是强容许的。在本论文中,我们进一步证明了下面的定理：Zn上的线性多项式映射是容许的当且仅当它是强容许的。本论文的主要创新点：1、研究了Goldbach猜想与算术级数的最小素数问题之间的内在关系；在算术级数情形,提出了一个类似的Goldbach猜想：如果k,l是互素的两个正整数,那么对于每个充分大的正整数n,2(kn+l)能表示为两个不同素数p,q的和,其中p,q都是形如kx+l的素数(第二章)。2、提出了W序列；细化了Erdos和Selfridge关于Grimm猜想的一个结果；也细化了Langevin关于算术级数的一个结果(第二章)。3、给出了Dickson猜想的等价形式,进而证明了Zn上的线性多项式映射F=(f1(x),…,fm(x))是容许的等价于它是强容许的(第三章)。