【摘 要】
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算子的谱理论是算子理论中最为活跃的研究课题之一,它在数学物理的许多方面有着广泛的应用.在过去的60年里,数学家们引进了许多非线性算子谱的定义,这些谱在非线性积分方程、分岔理论、边值问题以及非线性方程的求解等问题中具有重要的应用.最近,非线性分块算子矩阵开始引起人们的关注.本文主要研究了非线性分块算子矩阵的Kachurovskij谱、Furi-Martelli-Vignoli谱、Feng谱和Infa
【基金项目】
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内蒙古自然科学基金,Hilbert空间中线性算子数值域及其应用（No.2019MS01019）,2019.07-2021.07； 内蒙古自然科学基金,2×2算子矩阵的Fredholm性质及其应用（No.2020ZD01）,2020.07-2022.07；
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算子的谱理论是算子理论中最为活跃的研究课题之一,它在数学物理的许多方面有着广泛的应用.在过去的60年里,数学家们引进了许多非线性算子谱的定义,这些谱在非线性积分方程、分岔理论、边值问题以及非线性方程的求解等问题中具有重要的应用.最近,非线性分块算子矩阵开始引起人们的关注.本文主要研究了非线性分块算子矩阵的Kachurovskij谱、Furi-Martelli-Vignoli谱、Feng谱和Infante-Webb谱性质.作为应用,进一步研究了非线性分块算子矩阵的数值域和数值半径.具体内容如下:首先,分别研究了对角非线性分块算子矩阵、上三角非线性分块算子矩阵以及更一般的2×2非线性分块算子矩阵的Kachurovskij谱,得到了其Kachurovskij谱与其内部元的Kachurovskij谱和其Schur补的Kachurovskij谱之间的关系.此外,利用Gershgorin定理和数值域刻画了2×2 Lipschitz连续非线性分块算子矩阵的谱包含性质,并且利用非线性算子的扰动理论研究了2×2 Lipschitz连续非线性分块算子矩阵的lipeomorphism性.其次,研究了非线性分块算子矩阵的Furi-Martelli-Vignoli谱、Feng谱以及Infante-Webb谱,探讨了非线性分块算子矩阵的Furi-Martelli-Vignoli谱（Feng谱和Infante-Webb谱）与其内部元的Furi-Martelli-Vignoli谱（Feng谱和Infante-Webb谱）之间的联系,并利用Forbenius-Schur分解方法得到了非线性分块算子矩阵的Furi-Martelli-Vignoli谱（Infante-Webb谱）与其Schur补的Furi-Martelli-Vignoli谱（Infante-Webb谱）之间的关系.然后,作为应用,研究了非线性算子和非线性分块算子矩阵的数值域与数值半径.将有界线性算子数值域和数值半径的一些结论分别推广到了非线性算子数值域与数值半径的情形,并给出了非线性分块算子矩阵的数值域与其对角元的数值域之间的关系,进一步给出了非线性分块算子矩阵的数值半径不等式.最后,作为有界线性算子数值半径的一个重要推广,研究了有界线性算子和斜对角分块算子矩阵的Davis-Wielandt半径不等式.利用广义混合Schwartz不等式、Young不等式、Jensen不等式以及内积空间中的一些基本不等式得到了斜对角分块算子矩阵的Davis-Wielandt半径的一些上界和有界线性算子的Davis-Wielandt半径的一些上界与下界.
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