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双曲几何和Klein群在低维拓扑,动力系统,黎曼几何等学科中有着重要的应用.Poincar(?),Fricke和Klein对Klein群理论的发展始于十九世纪末.1960后,随着拟共形理论的成熟,L.V.Ahlfors和L.Bers使得Klein群理论成为复分析中Teichm(u|¨)ller理论分支中一个活跃的领域.然后,在1980前后,W.P.Thurston革命性地发展了双曲几何和Klein群理论,使得双曲流形和Klein群理论吸引了众多拓扑学家的注意.现在,Klein群已经获得了巨大的发展.例如,L.V.Ahlfors提出了有限生成Klein群的零测度猜想;G.D.Mostow建立了高维有限体积双曲流形的刚性定理;D.P.Sullivan研究了Klein群作用在双曲空间边界上的动力行为;W.P.Thurston讨论了三维流形的分类及曲面叶状结构的分类.在Poincar(?)等人发展Fuchs群和Klein群理论的同时,Picard也对复双曲Klein群进行了研究.尽管在Picard之后,又有G.Giraud和E.Cartan等人作了一些很重要的工作,但是复双曲几何的理论并没有像实双曲几何理论那样得到快速的发展.在S.Chen,L.Greenberg关于对称空间和G.D.Mostow关于复双曲空间的非算术格的构造的工作之后,复双曲离散子群的兴趣才被重新激发起来.许多著名数学家开始进行复双曲几何的研究,其中W.M.Goldman,R.Schwartz,J.R.Parker,E.Falbel等都在复Klein群方面做了许多非常重要的工作.本文的主要目的是讨论复双曲空间和实双曲空间上等距离散子群的性质和复双曲空间及其边界上四点对的模空间,其中三个点在复双曲空间的边界上而另一点在复双曲空间空间中.我们主要得到了如下结果:1.我们讨论了一个生成元为正则椭圆的二元生成复双曲群是离散群的必要条件,建立了相应的。J(?)rgensen不等式,当正则椭圆元素固定Lagrangian平面且具有实迹时,我们用此正则椭圆元素的迹及不动点刻画了J(?)rgensen不等式.2.利用Klein-Maskist组合定理和椭圆元素所固定的复线或点之间的距离,我们得到了两个椭圆元素生成离散自由群的充分条件.类似的,我们也得到了两个抛物元素生成离散自由群的充分条件.3.我们讨论了复双曲等距群n维子群的离散准则,利用恒等元素位于PU(1,n)中分别由斜驶元素和正则椭圆元素所构成的两个开集的边缘的事实及PU(1,n)中的n-维子群在PU(1,n)中要么离散,要么稠密的性质.我们得到了三个关于PU(1,n)中n-维子群的离散准则.4.上个世纪九十年代,J.W.Anderson提出了两个具有相同轴集合的有限生成的n维Klein群是否共约的公开问题.我们构造了一个反例说明了此问题的回答一般是否定的,并给出了具有相同轴集合的n维Klein群共约的充分条件.5.我们研究了一点位于复双曲空间内部,三点位于复双曲空间边界上四点对的模空间,其中这四点是不同的点.利用Cantan角不变量和复交比我们构造了这个实维数为6的具体模空间形式.