随着计算机技术近几十年的高速发展,数值计算在科学技术与工程实际中的作用逐渐提高,已经成为理论分析、实验验证之外又一重要的科研手段。功能复合材料是由两种或多种材料复合而成具有特定功能的新型材料,在航空航天、建筑工程、石油化工、电气工程、医学与仿生工程等高精尖工程领域中广泛应用,但由于功能复合材料在材料属性上的复杂性和非均匀性,利用传统数值方法求解有一定的难度。无网格方法是继有限元、边界元等数值方法之后新兴的、具有发展前途的数值方法。它在计算时克服了对网格的依赖,不再需要对网格进行初始划分和重构,因此无网格方法在工业材料冲压成型过程中材料大变形流动问题,裂纹扩展和断裂分析问题,超高速碰撞过程中材料的穿透、侵彻、飞溅问题,流固耦合问题中具有明显的优势,越来越受到科学工作者的关注。无网格伽辽金法是目前众多无网格方法中应用较为广泛且发展较为成熟的一种方法,它具有较高的精度和较快的收敛速度,而且不会伴随体积自锁现象,稳定性好,无网格伽辽金法的出现及快速发展使国际计算力学界掀起了对无网格法的研究热潮。本文结合单位分解法和无网格伽辽金法,提出了单位分解扩展无网格伽辽金法,并通过求解含裂纹功能复合材料结构问题,进一步研究和发展了该方法。本文首先对国内外的无网格方法研究现状进行了概述,对各类典型的无网格方法的发展历史进行了回顾并对它们的特点、优越性以及存在的问题进行了评价。介绍了数值方法在断裂力学中的应用情况。针对断裂问题,无网格法因其在计算时不需要网格单元,只需要节点信息,因此在处理裂纹问题上具有其他方法不可比拟的优越性。从而用无网格方法研究断裂问题是学界的一个热点研究领域。本文基于单位分解思想,在无网格伽辽金法位移近似函数中加入Heaviside函数和三角函数作为增强近似函数,给出了对无网格形函数进行扩展的具体项,提出基于单位分解法的扩展无网格伽辽金法,能够很好的模拟裂纹尖端应力场的奇异性。详细说明了控制方程的离散及扩展后应变-位移矩阵构造及刚度矩阵的组装并对边界条件的处理进行了讨论。本文提出了基于单位分解思想的扩展无网格伽辽金法并将其应用于求解断裂力学的相关问题中。在复合材料断裂力学问题中,给出了裂纹尖端附近的位移场及基于复合材料静力学的控制方程及其边界条件,推导了复合材料中平面断裂问题的扩展无网格公式。由于复合材料的特殊性,使得J积分路径无关性不再有效,因此对传统的J积分进行了修正,提出了复合材料的修正J积分。计算了不同裂纹长度及斜裂纹问题的修正J积分;对于压电材料断裂问题,给出了压电材料控制方程,将扩展无网格伽辽金法应用于求解压电材料中的平面断裂力学问题,在近似位移函数和电势函数中加入扩展项来描述裂纹处渐近位移场和电场,组装了力电耦合扩展无网格法刚度矩阵,推导了压电材料中平面断裂问题的扩展无网格公式,提出含裂纹压电材料板的单位分解扩展无网格伽辽金法。并在压电材料平面断裂问题通解的基础上,推导出了压电材料断裂问题应力强度因子和电位移强度因子表达式,提出了用裂纹面上的位移和电势来计算压电材料能量释放率的方法;对于功能梯度材料中平面断裂问题,将扩展无网格伽辽金法用于求解功能梯度材料中的平面断裂力学问题。基于功能梯度材料的本构方程及其梯度变化函数,推导了功能梯度材料中平面断裂问题的扩展无网格公式,并选择了合适的加权函数和罚函数。由于功能梯度材料的材料参数是以空间坐标为变量而梯度变化的,使得路径无关性不再有效,因此对传统的J积分进行了修正,提出了功能梯度材料的修正J积分。对不同边界条件,不同裂纹长度及不同梯度分布的裂纹问题进行了求解;对于功能梯度压电材料断裂问题,用单位分解扩展无网格伽辽金法对含裂纹功能梯度压电材料板的力电耦合问题进行了模拟,基于功能梯度材料静力学的控制方程及压电材料基本方程,推导了功能梯度压电材料中平面断裂问题的扩展无网格公式,在传统的J积分中加入电场相关项并对其进行了修正,提出了功能梯度压电材料的修正J积分。对含圆孔和不同裂纹长度及不同梯度分布的功能梯度压电材料裂纹问题采用不同的高斯积分计算了修正J积分。无论在复合材料断裂问题,压电材料断裂问题中,还是在功能梯度材料断裂问题和功能梯度压电材料断裂问题中,数值算例结果表明,本文方法对于求解含裂纹功能复合材料结构的力学问题是可行和有效的,并且计算结果具有较好的精度。