多维积分方程已广泛应用于许多工程问题的数学模型中,如二维积分方程可模拟复合材料断裂力学中的桥联问题,多维Fredholm积分方程可描述电磁散射问题,多维弱奇异积分方程可刻画电磁铸造过程等。受维数效应和奇异性的制约,这些积分方程往往需借助于数值方法进行求解。重心型插值是经典的Lagrange插值的改进形式,它具有计算公式简单、数值稳定性好、计算精度高和节点适应性好等优点。本文基于重心Lagrange插值和重心有理插值建立了几类多维积分方程的重心插值配点法。本文的主要内容如下:1.本文基于多维重心插值建立了求解多维线性积分方程的重心插值配点法。利用多维重心插值公式和多维Gauss-Legendre数值积分公式将多维线性Fredholm积分方程离散为相应的线性代数方程组。通过引入线性数值积分算子,在聚紧收敛理论框架下分析了近似解的存在唯一性和误差估计。在计算过程中,离散矩阵的生成不需要计算多维积分,易于推广求解多维线性Fredholm积分方程组。数值结果表明所提出的方法是一类精度高且稳定性好的数值方法。2.本文基于多维重心插值建立了求解多维非线性积分方程（组）的重心插值配点法。利用多维重心插值公式和多维Gauss-Legendre数值积分公式对多维非线性Fredholm积分方程（组）进行离散,并利用直接迭代法或Newton迭代法对所得到的非线性代数方程组进行求解。通过引入非线性数值积分算子分析了近似解的存在唯一性,进而导出了误差估计。在计算过程中,利用数值积分公式将多维积分运算转化为函数值运算,使得计算更为方便。数值结果验证了所提出的方法的可靠性和高效性。3.本文基于光滑变换和多维重心插值建立了求解一类核函数或解不光滑的多维分数阶Volterra积分方程的变换的重心插值配点法。受奇异性的影响,直接采用重心插值配点法求解这类方程难以得到高精度的数值解。本文引入了一类光滑变换函数,使变换后的方程的解具有更好的正则性;随后利用多维重心插值公式和多维Gauss-Jacobi数值积分公式求解了变换后的方程;进而通过对应的光滑逆变换函数得到了原方程的数值解,并分析了其误差估计。光滑变换的引入不仅改善了解的光滑性,而且还保持了重心插值配点法计算精度高和数值稳定性好的优点。因为所引入的光滑变换和对应的逆变换均是连续函数,所以整个算法的实现具有很强的操作性。数值结果表明,利用所提出的方法求解非光滑的多维分数阶Volterra积分方程可以得到高精度的数值解。4.本文基于多维重心插值及其微分矩阵建立了求解一类依赖于时间的多维分数阶发展方程的重心插值配点法。此类方程是一类带弱奇异核的偏积分微分方程,其解在初始时刻具有弱奇异性,使得关于时间变量的数值格式在均匀时间步长条件下难以达到预期的收敛阶。本文在时间方向上利用广义的Crank-Nicolson差分格式和分级网格节点上的梯形乘积积分公式分别离散了微分项和积分项,导出了无条件稳定且二阶收敛的时间半离散格式;在空间方向上利用多维重心插值及其微分矩阵分别离散了多维分数阶发展方程的待求函数及其导数项,导出了全离散格式,并给出了数值解的误差估计。数值结果与理论分析基本一致。