论文部分内容阅读
本文主要研究了某些有限环上线性码的MacWilliams恒等式、二次剩余码和N-重量码.具体内容如下：1、研究了有限环Fp+vFp+v2Fp上线性码的MacWilliams恒等式.首先研究了环Fp+vFp+v2Fp上线性码和它的对偶码的结构及其Gray象的性质.其次定义了该环上线性码的各种重量计数器且研究了它们之间的关系,特别地,我们得到了该环上线性码及其对偶码之间关于完全重量计数器的MacWilliams恒等式.利用该恒等式,进一步得到了该环上线性码与其对偶码之间关于对称重量计数器的MacWilliams恒等式.最后,利用对称形式的MacWilliams恒等式得到了该环上关于Hamming(Lee)重量计数器的MacWilliams恒等式.2、讨论了矩阵环Mn×s(Fp+vFp+v2Fp)和Mn×s(Fp+uFp+vFp+uvFp)上线性码上关于RT度量的MacWilliams恒等式.定义了矩阵环上线性码的Lee完全ρ重量计数器和精确完全ρ重量计数器,然后分别给出了这两个环上线性码与其对偶码之间关于这两种重量计数器的MacWilliams恒等式.3、研究了非链环Fp+vFp+v2Fp上的二次剩余码.利用中国剩余定理及其有限域上二次剩余码的幂等生成元,给出了该环上的二次剩余码的定义,然后给出了相应的性质并研究了其扩展的二次剩余码,最后通过Gray象来搜索域上的好码.4、研究了非链环Z4+uZ4上的类型为α的单纯码.定义了新的Gray映射和该环中元素的Gray重量.通过该环上自对偶码的极小Gray重量与极小Hamming重量之间的关系定义了该环上码的类型,然后给出了类型为a的单纯码的重量分布问题.通过单纯码的生成矩阵定义了该环上的MacDonald码,并研究了MacDonald码的Torsion码的重量分布问题,进而得到了MacDonald码的Torsion码不仅是环Z4上类型为α的线性码,还是一个2-Lee重量码.5、研究了环S[v]/<v2+v>上线性码关于Gray重量计数器的MacWilliams恒等式,其中S=F2+uF2(u2=0)其次通过该环上N-Gray重量码的必要条件,其中N=1,2,讨论了N-Gray重量码构造的问题.