对自然问题、社会问题的数学建模,往往归结于建立相应变量的微分方程,而求解这些方程,将有助于我们窥探到相关问题的实质.现代物理、工程科学、生物数学等学科涉及的数学模型往往是非线性微分方程（组）.这样,求解微分方程（组）,尤其是非线性微分方程（组）,在某种意义上,是人们认识自然界和人类社会的重要手段之一法国天才数学家埃瓦里斯特.伽罗华（Galois）认识到一个多项式方程的代数解联系着与该多项式的根有关的一个置换群的结构,这个置换群称为多项式的伽罗华群；与之相类,挪威伟大数学家李（Sophus Lie）观察到用于求解那些特定的、貌似彼此间毫无关联的微分方程类型,如可分离变量型,齐次型或恰当方程型的方法,实际上都是一个基于在某对称连续群作用下使得微分方程保持不变的一般积分过程的特殊情况,这个对称连续群现在称为Lie群.运用Lie群方法可求得微分方程系统的对称,进而利用对称对原方程降阶,很大程度上简化了问题的复杂程度.这种方法能处理的除了常系数的非线性系统,也包括具有可变系数的方程类别.Lie群理论的核心工具是无穷小生成元及相应的对称.1918年,杰出的德裔女科学家埃米.诺特（E.Noether）建立了某些泛函的非平凡广义对称与非平凡守恒律之间的一一对应关系.2007年,微分方程领域资深学者N.H.Ibragimov证明了任何微分方程系统,只要所含方程个数与其中因变量个数相同,则它的任意一个Lie点对称,Lie-Backlund对称,或非局部对称都对应一个守恒律.不过,这个对应的守恒律中会包含一些”没有物理意义”的变元一因而也称之为非局部守恒律.为了得到局部守恒律,人们需要考虑方程的自伴性.若方程具有某一自伴性,则那些”没有物理意义”的变元可以被除去,从而得到局部守恒律.不然,就是研究对象的局部守恒律不存在.尽管如此,那些非局部的守恒律形式仍旧反映了原方程的对称性质.利用对称对方程进行降阶有助于方程的求解,有时,直接依靠方程的非平凡的局部守恒律也可得到方程的一些特解.本文研究了三类具有可变系数的标量偏微分方程,具体研究内容和章节安排如下.第一章先对研究背景,一些基本概念及相关研究作了概述；然后叙述了对称和守恒律的一般关联；本章末尾,择要介绍了本文的主要工作和创新点.第二章主要介绍了Ibragimov的由微分方程的对称求得其守恒律的理论和有关的一些算法.第三章我们研究一个具有可变系数为自变量t的函数的非线性反应-对流-扩散系统,先求得它的Lie点对称,并确定了该方程可能的非线性自伴形式.利用由Ibragimov证明的关于微分方程守恒律的一般定理,对前面求得的Lie点对称借助形式拉格朗日算子逐个求得了扩展系统一原方程和它的自伴方程的联立系统一的守恒律.特别地,对于具有非线性自伴性的那些类别,我们求得了每个类别自身的守恒律.最后基于求偏微分方程特解的守恒律方法,利用已求得的三个局部非平凡的守恒律,我们得到了系统相应形式的一些特解.在第四章我们考虑一个空间依赖的反应-扩散系统,即具有可变系数b（x）的一类二阶反应-扩散方程.首先,在寻找方程的Lie点对称的同时,我们将它分作三类.然后,由于方程不具备任何自伴性,对每一个求得的Lie点对称,我们构造了联立系统一方程与它的自伴一的守恒律.对原方程而言,它们是非局部守恒律.我们证明,方程的局部守恒律是不存在的.另外,我们还构造了方程的一些精确解.第五章讨论了另外一个具有可变系数的反应-扩散方程.在求解Lie群的确定方程组时,我们依对可变系数的限制将方程分作三类.接下来,针对所求得的对称,我们考虑了每一类方程的守恒律.在本章末尾,我们构造了方程的一些精确解.在第六章里,我们对整篇论文的工作进行总结,并提出了有待进一步研究的问题.