【摘 要】
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梁振动方程在桥梁建设,土木工程,噪声控制和航空航天等方面有广泛应用,带有阻尼项的梁振动方程可以更好地描述物体的特殊性质,特别是时间分数阶阻尼梁振动方程,可以更有效地刻画物体的记忆性和时间依赖性,因此,对阻尼梁振动方程的研究具有重要的理论意义和实用价值.紧致有限差分方法可以使用较少的网格节点以获得较高精度,大大减少了计算量.本文对整数阶阻尼梁振动方程提出了一种三层紧致差分格式,对分数阶阻尼梁振动方程
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梁振动方程在桥梁建设,土木工程,噪声控制和航空航天等方面有广泛应用,带有阻尼项的梁振动方程可以更好地描述物体的特殊性质,特别是时间分数阶阻尼梁振动方程,可以更有效地刻画物体的记忆性和时间依赖性,因此,对阻尼梁振动方程的研究具有重要的理论意义和实用价值.紧致有限差分方法可以使用较少的网格节点以获得较高精度,大大减少了计算量.本文对整数阶阻尼梁振动方程提出了一种三层紧致差分格式,对分数阶阻尼梁振动方程提出一种空间紧致的Crank-Nicolson有限差分格式.本文共分为四章,第一章为绪论,对梁振动方程和阻尼项的背景及国内外研究现状进行了介绍.第二章研究了整数阶阻尼梁振动的初边值问题.通过引入一个新的变量,将四阶阻尼梁振动方程改写为两个二阶方程组.然后利用紧致有限差分算子和中心差分方法构造了一个空间四阶的三层紧致差分格式.利用能量法,证明了所给出的差分格式是无条件稳定和收敛的.最后,通过数值算例验证了阻尼系数取不同值时数值格式的误差阶.第三章研究了分数阶阻尼梁振动方程的初边值问题.引入两个新变量,将四阶阻尼梁振动方程改写为二阶方程组.构造出空间四阶的紧致Crank-Nicolson格式,其中分数阶导数利用L1逼近.利用能量法,证明了所给出的差分格式是无条件稳定和收敛的.最后,通过数值算例验证了此方法的有效性.第四章为对全文的总结和未来工作的展望.
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