设 Fg是一个q阶有限域，这里q= pt,t∈Z+，p为素数. f(x)为 Fq上给定的多项式，定义{f(a)|a∈Fq}为f(x)的值集.目前关于有限域上单变量多项式的值集问题已经被推广到多变量多项式，本文借助于多项式向量g的次数矩阵Dg,随后通过定义g的不变量w(g),其中w(g)为使得g的次数矩阵满足m∑j=1kjDj∈rNn的K1+km(0≤h≤r)的最小值，并给出当w(g)≤q时，w(g)为 Ug(g)的一个下界，随即结论Ug(g)≥min{q,w(g)}成立.　　令M(Fg,a,i,j)表示集合{x∈Fg：x(x)= i，x(x+a)= j},其中i,j∈{±1}.借助M(Fg,a,i,j)集合的构造法，讨论有限域上的两个特殊多项式f(x)= x(q-3)/2+x2+x+1,g(x)= x(q-3)/2-1+x2+1(q≡1(mod4))与 Fg上的二次剩余和非二次剩余之间的关系及其值集中二次剩余与非二次剩余的个数问题.　　在多项式映射f(x)的作用下，将Fg中的元素分为两类，第一类中的元素分别对应不同的象元，第二类中的元素满足至少有两个元对应同一个象元，在计算多项式的值集时，主要通过对第二类中元素的结构分析，解决多项式的值集问题.　　第一章首先给出了本文所需的基本概念及前人的一些主要结论，包括有限域上单变量多项式以及多变量多项式值集上下界的一些结论.　　第二章本章中，借助于定义多项式向量g的不变量w(g),其中w(g)为使得g的次数矩阵满足m∑j=1kjDj∈rNn的ki+km(0≤h≤r)的最小值，并给出当w(g)≤q时，w(g)为Uq(g)的一个下界，随即结论Uq(g)＞min{q,w(g)}成立.　　第三章讨论当Fg上给定的多项式H(x)具有[f(x)+ai][f(x)+a2]…[f(x)+a1](ai∈Fq,1≤i≤k)结构时,研究它的值集大小以及判断什么样的多项式能够表达为这种形式，并且考虑当给定的多项式不能表示为这种形式时，是否可以通过对其添加一些项使它能够表示为这种特殊结构，并且满足所添加的项对于原多项式的值集影响不大，随后针对这类多项式做了一般性推广.　　第四章分析有限域Fg上的两个特殊多项式f(x)= x(q-3)/2+x2+x+1，g(x)=x(g-3)/2-1+x2+1分别在q≡1(mod4)与(q三3(mod4))时，与有限域中的二次剩余和非二次剩余之间的关系，以及值集中二次剩余和非二次剩余的个数问题.　　第五章找出二元多项式F(x,y)=f(x)-f(y)/(x-y)k(这里f(x)∈Fq[x],k为多项式f(x)-f(y)中因子（x-y)的最高次数)在Fg中的所有互异二元解，并将所有的二元解转化为二元集合求并集，随后对并集中的元素做分类，使得每一分类中的所有元素在f的映射下对应Fq中同一个象元，则|Vf|可以借助于并集的基数和类数表达.