【摘 要】
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约束矩阵方程问题是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程解的问题．它是近年来数值代数领域中研究的重要课题之一，在结构设计，系统识别，自动控制理论，振动理论等领域有着广泛
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约束矩阵方程问题是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程解的问题．它是近年来数值代数领域中研究的重要课题之一，在结构设计，系统识别，自动控制理论，振动理论等领域有着广泛的应用．
本文的主要工作和创新点如下：
1．首次提出了子空间上梯度矩阵(▽F(X))的概念．
2．利用子空间上的泰勒展式、空间分解定理以及投影定理得到了子空间上梯度矩阵的计算公式(不同的子空间，梯度矩阵是不相同的)．
3．引入了广义共轭(M-共轭)的概念，在此基础上提出了广义共轭梯度法．
4．利用广义共轭梯度法，讨论了问题Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ解的情况：当方程(组)相容时，研究了方程(组)的一般解、(反)对称解、中心(反)对称解、(反)自反矩阵解、双对称解、对称次反对称解及其最佳逼近等问题；当方程(组)不相容时，研究了方程(组)的最小二乘一般解、最小二乘(反)对称解、最小二乘中心(反)对称解、最小二乘(反)自反矩阵解、最小二乘双对称解、最小二乘对称次反对称解及其最佳逼近等问题．成功地解决了这些问题．
广义共轭梯度法在迭代过程中具有以下特点：
(1)能够自动地判定解的情况：当方程(组)相容时，得到方程(组)的解；当方程(组)不相容时，得到方程(组)的最小二乘解．
(2)对任意初始矩阵，在没有舍入误差的情况下，经过有限步迭代得到所求问题的一个解．若取特殊的初始矩阵，则得到问题的极小范数解，从而巧妙地解决了问题Ⅳ．
5．构造了一种迭代法系统地研究了问题Ⅴ的一般解组、(反)对称解组、中心(反)对称解组、(反)自反矩阵解组、双对称解组、对称次反对称解组及其最佳逼近等问题，并成功地解决了这些问题．
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