本文主要运用偏微分方程和变分的方法讨论图像处理中的一些数学模型和快速算法,主要内容包括图像去噪和图像分割两个方面。一般来说,有两种思路去建立数学模型：一是运用偏微分方程(PDE)的方法,直接构造满足要求的PDE；二是运用优化的方法,建立变分模型,即能量泛函的极小化问题。然后我们需要利用有效的算法求解所建立的数学模型。对于偏微分方程模型,通常是选取合适的差分格式离散方程,得到其数值解。对于变分模型,一方面我们可以先求出对应的欧拉-拉格朗日(Euler-Lagrange)方程,进而给出梯度下降流,然后离散化求数值解；另一方面我们可以改变极小化问题的形式,运用好的迭代算法,如Chambolle的射影方法,split Bregman迭代等,来加速计算。本文的主要结果有以下几个方面：1.一个改进的LOT模型和快速算法ROF模型是最著名图像去噪模型之一,但是它有导致“块状”效应(staircase effect)的缺点。LOT模型是一种能减轻这种效应的模型,然而,在噪声信息未知的情况下,它对于保持图像的细节结构如边缘和纹理的效果不太理想,我们提出一个改进的LOT模型来解决这个问题。该模型是基于变分的方法,有两步组成：首先,我们利用全变分(TV)模型来平滑图像单位法向量的orientation(一个变量,计算速度提高两倍)；然后构造平滑后的单位法向量,使其和想要得到的图像的单位法向量充分接近。这里我们引入一个边缘检测函数,使得模型能更好地保持图像的重要结构(如边缘和纹理),并且图像灰度的保真项采用L1范数,与LOT模型中的L2范数相比,它能更好地保持图像的对比度。另外,LOT模型有三个非线性方程需要求解,但是利用有限差分方法求数值解需要很长的计算时间,对于改进的模型,我们采用了快速的dual-based方法(Chambolle的射影算法),极大地提高了计算速度(近十倍)。2.防止“块状”效应的具有新梯度保真项的二阶PDE模型像ROF模型一样,一些传统的二阶非线性偏微分方程在去噪的过程中经常会产生“块状”效应。为了去除这种效应,我们引入一个新的梯度保真项并构造一个极小化问题,将此极小化问题的Euler-Lagrange方程耦合到这些二阶偏微分方程中。构造这个梯度保真项有两个步骤：首先,我们利用向量值全变分(vectorial TV)模型直接对噪声图像的梯度或法向量进行正则化；然后,极小化希望得到的图像的梯度与第一步得到的法向量之间的L2范数。利用全变分模型能使图像的梯度在边缘处保持得比较好,从而梯度更保真。在计算过程中,我们运用向量值dual-based方法求解向量值TV模型,与常用的梯度下降流方法相比,这能节约更多的时间,加快了噪声图像梯度的预处理。3.基于非局部TV模型的乘性噪声去除乘性噪声的去除也是图像恢复中的一个重要问题。本文我们利用非局部TV范数来去除乘性噪声,提出两个非局部TV-based模型。与传统的TV范数相比,非局部TV范数的一个主要的优点是它能更好地处理纹理和一些重要结构。Bregman迭代与split Bregman迭代被用于实现这两个新模型。其中,Bregman迭代有助于恢复后的图像保留更多的细节结构,使其看起来更清晰；split Bregman迭代可防止非局部TV范数的正则化,加快计算。4..向量值图像恢复问题中的一个快速算法对于向量值图像恢复问题,如彩色图像去噪、图像的彩色化、彩色图像修复(inpainting)等,向量值TV-based模型是一类比较有效的数学模型,那么研究对应的有效而快速的算法就显得十分必要。首先,我们将Jia和Zhao的一种基于split Bregman迭代的快速算法推广到向量值TV模型,从而计算速度大大加快。所提出的向量值算法不需要解任何差分方程,且有很简单的迭代格式,从而很容易编程实现,更重要的是它收敛到向量值TV模型的解,而且达到收敛的迭代次数比较少。然后,我们将提出的向量值算法推广应用到一些彩色图像恢复问题中,包括基于red-green-blue(RGB)和chromaticity-brightness(CB)彩色表示的彩色图像去噪、基于CB彩色模型的图像彩色化和图像修复。5.基于fuzzy区域竞争的图像分割问题及其快速算法图像分割问题中的数学模型常常需要用水平集方法来求解,但是这种方法不但计算速度慢而且还依赖于曲线的初始化。我们利用fuzzy区域竞争的方法总结出一个图像分割模型,它联合了边缘信息和区域内的亮度信息,是一个统一了C-V模型、非参数统计模型等著名分割模型的分割框架。这种模型不但有整体解,其分割结果不依赖于曲线的初始化位置,而且有许多有效的算法可以求解它。本文将Jia和Zhao提出的解各向异性ROF模型的快速算法推广到带权重的各向同性TV模型中,并将其应用到基于fuzzy区域竞争的图像分割模型中,提出了图像分割问题中一个简单而快速的算法。