本博士学位论文主要通过研究几类典型的生态学与流行病学中的自由边界问题,意图探究生物种群或者流行病在空间上的传播现象.本文主要研究了四类典型的生态学与流行病学模型:一个初始时刻生存在不同栖息地上Lotka-Volterra型的竞争模型,一个带时间周期的Lotka-Volterra型捕食模型,两类流行病仓室模型.首先,研究初始时刻生存在不同栖息地上的反应扩散竞争模型的自由边界问题.假设两个物种在初始时刻生活在不同的栖息地上,随着时间的增长,两个物种都会向新的环境中扩散.在其各自的栖息地上,种群的演化满足扩散Logistic方程.在其共同的栖息地上,相互之间是竞争关系,并假设满足Lotka-Vorterra型竞争机理.关于此问题,首先证明了全局解的存在性,唯一性以及正则性.随后给出了解关于时间的一致估计,其将用于研究熄灭发生时解的长时间行为.对于蔓延发生的情形,在不同的参数条件下给出了解的长时间行为.最后探讨了蔓延或熄灭发生的充分条件.其次,讨论了一个时间周期的非均匀环境下的Lotka-Vorterra型捕食模型.此模型可以用来描述应对物种入侵的生物防治过程.本文假设允许两个物种的局部生长率随时间周期变化且可以改变符号,并且在相当大的区域上可以是负值.在此假设条件下主要讨论了解的蔓延与熄灭二择一性质.当熄灭发生时,在不同的系数条件下给出了解的长时间行为.另一方面,由于蔓延发生时解的长时间行为与半空间上的稳态问题关系密切,本文通过研究与自由边界问题相关的半空间上的时间周期的边值问题,在恰当条件下给出了蔓延发生时解的长时间行为.然后讨论了蔓延或熄灭发生的充分条件.在蔓延发生的情形下,得到了自由边界的渐近传播速度的估计.最后研究了两个的流行病模型的自由边界问题,分别是SIR仓室模型的反应扩散系统的自由边界问题以及带有非局部反应项的SIS模型的自由边界问题.对于SIR模型,主要关注了熄灭发生时的长时间行为以及熄灭发生的充分条件.对于SIS模型,首先证明了全局解的存在性和唯一性,然后得到了熄灭发生时解的长时间行为以及熄灭发生的充分条件.此外,因为自由边界问题解的长时间行为与热传导方程的初值问题关系密切,本文还研究了两个相关的热传导方程的解的长时间行为.