本文由三部分内容组成：一．平面2-圈共振图的构造与识别；二．2m-临界图；三．一类Cayley图的Vosperian性质。下面一一介绍。 一．平面2-圈共振图的构造与识别 化学图论研究化学分子图的拓扑不变量和拓扑性质，以及它们与化合物物理化学性质之间的相关性，因而在预测、合成新的化合物及药物方面有重要的应用。 在苯类碳氢化合物（属芳族烃）的拓扑理论中，如果将碳原子视为点（vertex），碳原子之间的键视为边（edge），并忽略氢原子，那么一种苯类碳氢化合物的碳原子骨架图可表示为一个六角系统。这种六角系统是2-连通平面图，其内面的边界是六边形。六角系统H的一个完美匹配（1-因子）也叫做H的一个凯库勒结构。六角系统H中的圈C称为共振的，如果存在一个H的凯库勒结构K使得C是K-交错圈。共振圈模型理论表明，长度相异的共振圈有着不同的共振能。当共振圈的长度为4n+2时，共振圈的共振能与n成反比。因此在六角系统中，共振六边形的共振能最大。另一方面，从纯实验的角度出发，著名化学家Clar等发现，恰当地确定一个芳香性六隅体可预测出多环芳族烃的许多电性质。根据Clar的芳香性六隅体理论，六角系统中的六隅体就是共振的六边形，六角系统的Clar公式是一个基数最大、互相共振、互不相交的六隅体集合，这里“互相共振”是指，存在一个凯库勒结构K使得所有不交的六边形是K-交错的。一个有意义的问题是：在什么条件下，六角系统中任意t个不交的六边形是互相共振的?若六角系统H的任意t个（1≤t≤k）不交六边形是互相共振的，则H称为k-共振的或k-可覆盖的。 “覆盖”的概念最初由Gutman提出。张福基和陈荣斯首先研究了1-共振六角系统，给出了六角系统是1-共振的充要条件。郑茂林进一步引入k-可覆盖六角系统的概念并刻划了其结构，确定了六角系统k（≥2）-共振的充要条件。作为共振六角系统概念的自然推广，郭晓峰和张福基引入了k-圈共振图概念。 连通图G称为k-圈共振的，若对于任意t，1≤t≤k，G中任意t个不交圈都是互相共振的，即G中存在一个完美匹配M使这t个圈皆为M-交错圈。由定义可看出，k-圈共振图也是（k-1）-圈共振的。 文献［40］中，郭晓峰和张福基给出了k－圈共振图的充要条件，并进一步研究了一般平面k－圈共振图（k＝1，2），给出了平面卜圈共振图和2一圈共振图的充分必要条件。然而直接利用上述平面1，2一圈共振图的充分必要条件，不能有效地判定一个给定平面图是否是平面1；2－圈共振的。为了设计识别平面1－圈共振图的有效算法，徐志霞和郭晓峰卜给出了新的平面 1－圈共振图的充分必要条件，以及构造平面1一圈共振图的递归方法，并建立了一个识别平面卜圈共振图的线性算法。在第一、二章中，我们进一步研究了平面2一圈共振图的结构性质，刻划了平面2一圈共振图的四种结构。根据所刻划的四种结构，我们给出了构造与分解平面2一圈共振图的方法，同时建立了一个识别平面2一圈共振图的线性算法。为了较详细地介绍我们所做的t作，首先给出一些相关的概念。 连通图G中的极大2一连通子图或割边称为G的块。设B是G中恰有两个附着点的2－连通子图，则q凤G卜凤用］称为B在G中的补图，记为万。 如果图G中的一条路P的内点的度数皆为2，而其端点的度数不等于2，则称P是G的一条链。将G中链P的所有内点组成的集合记为VIp广 对图G中的两个顶点儿V，如果。包含在G的某个极大2一连通子图，并且任意包含。的圈也包含。，那么称顶点。圈相关于。，记为。。。。若顶点。也圈相关于。，则称。和。是互相圈相关的，记为ttoD。 根据郭晓峰和张福基给出的平面2一圈共振图的充要条件，我们刻划出了平面2一圈共振图G的4种基本的结构如图1所示： 结构1：P是一条偶长链，其端点为儿V，G一m刊恰有两个2一连通块Bl，Bhw是其公共点，并且在Bl中。。w，在B。中。。w。 结构2：P是一条奇长链，其端点为儿儿c－v，瞩卜恰有三个2－连通块BI，＆，马，并且在BI中。。1，在B3中。。9，以及在BZ中xMy。 结构3：P是一条奇长链，其端点为。，…G－VI沪)不是2－连通的，其 2一连通块 BI，BZ，…，B小三幻互不才交回 在 G一巧P)中，割边导出的子图皆为奇长链。 结构4：Bl是恰有两个附着点的2－连通子图，京不是2一连通的并且恰有三个2一连通块BZ，B3，B4，并且在B；中，i二1，2；3，4，B；的 2 两个附着点是互相圈相关的。 结构1．结构2．eM 结构3．结构4．M．e 上述四种结构中的恰有两个附着点的2一连通子图称为结构块。 如果平面1一圈共振图G中不存在两个不相交圈，那么G称为简单的。基圈数为1，2的平面卜圈共振图都是简单的。我们将kK22卜重KZ的偶剖分称为平行奇链，显然，平行奇链是平面简单1一圈共振图。平面简单1一圈共振图是构造与分解平面2一圈共振图的重要基础。我们给出了平面简单1一圈共振图完全刻划。 定理一．平面2一连通?