首先，本文在介绍GW分枝过程一些基本理论及下临界分枝过程的主要结论的基础上，使用高等数学中的极限、导数、泰勒公式等基本理论、方法证明了下临界分枝过程是否必然灭绝的判别定理. 其次，Kolmogorow(1938)提出在下临界分枝过程中，若E(z21)＜∞，则有下式成立：sn=1-fn(0)～cmn，n→∞.Heathcote和Seneta(1966)获得了关于c的界。但是在他们获得界的文章中仅仅考虑了繁衍概率母函数二阶导数的存在。本文在其三阶导数存在时，提出下面两个关于灭绝概率qn的等式：qn=1+f’(ξn-1)(qn-1-1)qn=1+m(qn-1-1)+1/2f(1)(qn-1-1)2+1/6fm(ηn-1)(qn-1-1)3,由于qn=fn(0)=1-sn，并利用上面两个等式本文获得了c的界。 最后，本文通过泊松型繁衍概率母函数的实例，说明用本文方法获得界是比较好的。