快速多极子方法(FMM)可用来加速迭代求解由Laplace方程、Helmholtz方程、Navier方程、Stokes方程、Maxwell方程组等导出的边界积分方程，将矩阵一向量乘积的复杂度由O(N2)降低为O(NlogN)甚至O(N)，N为未知量个数。FMM不仅解决了积分方程数值求解的复杂度瓶颈，而且能够通过严格的误差估计达到任意精度，因此被评价为20世纪十大算法之一。　　 本文首先研究了FMM的基本思想，然后根据各种核函数的特点，讨论了矩阵-向量乘积能够快速计算的前提和相应的级数展开，包括多极子展开、平面波展开、Hermite展开，以及基于Chebyshev多项式插值的光滑非震荡核函数的展开，并简要阐述了基于这些核函数展开的FMM在分子和恒星动力学、计算电磁学、声学、弹性力学和流体力学等领域的应用。　　 本文重点研究快速求解电磁场积分方程的多层快速多极子方法(MLFMM)。由于MLFMM依赖于转移项以及层间插值的快速计算，本文采用了如下优化策略：基于FMM1D的快速Lagrange插值将转移项的计算复杂度由O(L3)降低到O(L2)，L为截断数；基于FFT与FMM1D混合的快速谱插值将球面函数层间全局插值的计算复杂度由O(K2)降低到O(K log K)，K为插值取样点数；利用转移模式的对称性进一步减少了转移项的计算量。　　 本文采用分布式八叉树结构、Morton编码技术和基于树节点的通信策略并行实现了MLFMM，设计和开发了基于C、Fortran和MPI的并行电磁散射软件EMS-FMM。该软件能够计算上千万规模的复杂电大目标，比如电尺寸为145的飞机模型和电尺寸为250的驱逐舰模型。本文还分析了MLFMM的计算误差和数值稳定性，以及影响MLFMM并行效率的关键因素。测试结果表明，MLFMM具有近似线性的复杂度和较高的计算精度。