近年来在二维动画制作与二维图像编辑中,基于笼子的图像变形方法愈发受到关注。所谓的基于笼子的图像变形方法,指的是将图像用一个简单的几何框架包围,并将图像中的点表示为与该几何框架有关的几何量的线性组合,该几何框架被称之为笼子,几何量线性组合的权重被称为坐标。基于笼子的图像变形方法具有简单、快捷、易于操作等优点,从三角形重心坐标扩展得到的二维均值坐标是一种常用的坐标,该坐标具有显式的表示形式并且计算简单,然而对凹图像的变形效果不佳。均值坐标是由调和函数均值定理得到的,类似地,直接由二维调和函数的性质出发由此得到的二维格林坐标和二维调和坐标弥补了均值坐标的缺陷,并各具特点。二维格林坐标具有显式的积分形式,并且能够实现保形的变形,二维调和坐标虽然没有显式格式,但是能够将图像中的点表示为笼子顶点的凸组合。本文首先从二维格林坐标出发,将二维格林坐标原本复杂的显式表示形式简化为更直观的只包含与笼子和变形点的位置有关的几何量的显式表示形式,并由此得到了二维格林坐标梯度的显式表示形式,由此简化证明了二维格林坐标的保形性等性质,以及简化了二维格林坐标向外延拓的显式表示,并且在图像变形的实践应用中,使用我们得到的二维格林坐标梯度的显式表示形式,应用多元函数的牛顿迭代法,解决了图像破损问题并且实现了变形图像的恢复。然后使用降维算法边界元方法近似地求解二维调和坐标,简化了计算,得到了我们称之为二维边界元调和坐标的一种新的坐标,并且得到了二维边界元调和坐标及其梯度的显式表示,以及证明了在图像变形中,二维边界元调和坐标完全等价于二维调和坐标并与二维格林坐标具有密切的联系。最后应用二维格林坐标与二维边调和坐标给出了应用实例。