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孤立子是应用数学和数学物理的一个重要组成部分。在数学中，孤立子理解为非线性演化方程局部化的行波解，经过相互碰撞后，不改变波形和速度。孤立子已广泛地应用于诸如基本粒子理论、固体理论、非线性光学等一系列科学领域中。 本文首先回顾了孤立子概念的发现过程以及探究孤立子的意义。然后从非线性发展方程的精确解，对称理论以及可积系统理论等方面介绍了孤立子理论的研究内容及发展概况。 寻求非线性发展方程的精确解的齐次平衡法是将非线性发展方程化为常微分方程，再假设该常微分方程的解可以表示为某函数的有限次多项式的形式，平衡具体的常微分方程的线性最高项与非线性项，进一步确定方程解的具体形式，得到一超定方程组，求解该方程组即可得到原方程或方程组的精确解。本文对齐次平衡法中的目标方程做了改进，并得到了该方程的多组解，特别是对所求方程的形式解做了改进，即引进了一类新的变量，由此得到耦合Itó方程的几类精确解，包括双曲函数解、三角函数解、椭圆函数解等。 屠格式做为寻求可积Hamilton系统的方法，其中的迹恒等式是寻求非线性发展方程族的Hamilton结构的有效工具。一类大可积系统称为可积耦合，它是含多个位势分量的一类扩展可积模型，在研究可积系统的统一表示、研究Virasoro代数及遗传对称等方面具有潜在应用价值。因此可积耦合是可积系统理论的研究热点之一。由于迹恒等式无法寻求可积耦合的Hamilton结构，所以人们提出了二次型恒等式，它是迹恒等式的推广，是寻求可积耦合的Hamilton结构的有效方法。本文通过构造新的Lie代数及其相应的loop代数，在零曲率方程框架下得到了屠族的双可积耦合，最后利用二次型恒等式得到了该族的一类可积耦合的Hamilton结构，并且是Liouville可积的。 接着，通过对方矩阵Lie代数的分类构造了一类新的高维Lie代数及其一类loop代数，由零曲率方程生成双可积耦合，作为应用例子得到了著名的AKNS方程族的双可积耦合。 然后，本文在构造了一类列向量Lie代数及其一类loop代数的基础上，由GJ谱问题得到了一类广义AKNS方程族，借助于Lie代数间的同构关系，由迹恒等式得到了该方程族的Hamilton结构。通过扩展该Lie代数为一个高维的列向量Lie代数，构造了其一个相应的loop代数，由屠格式得到了该广义AKNS族的一类可积耦合，再由二次型恒等式得到了其Hamilton结构。 最后本文研究了Li族和屠族的可积耦合，将已知的一个Lie代数扩展成一个高维的Lie代数，由Lie代数的分次得到了该Lie代数的两类loop代数，再由屠格式分别得到了Li族和屠族的可积耦合，最后由二次型恒等式分别得到了它们的Hamilton结构。