低秩半定矩阵恢复问题在信号与图像处理、金融学、控制、图理论、系统识别等众多领域中都有着广泛的应用.它是最优化及其相关领域的一个热点研究课题.通常,低秩半定矩阵恢复问题是NP-难的.为了克服这个困难,凸的核范数松弛技术被广泛应用在文献中,但它并不总是有效的.本文主要针对低秩半定矩阵恢复问题的非凸松弛模型、不松弛的秩正则化模型以及秩在约束条件下的最小二乘模型分别设计有效且稳定的算法.针对低秩半定矩阵恢复问题的特例：低秩半定矩阵完备化问题,首先证明在一定条件下,低秩半定矩阵完备化问题与它的S1/2松弛模型有相同的唯一解.接着建立了S1/2正则化模型解的渐近性.进一步证明了S1/2正则化模型的全局最优解是某个对称矩阵半阈值算子的不动点.基于此条件,设计了一种求解S1/2正则化模型的算法框架,分析了它的收敛性.结合最优的正则化参数设计及截断技术,进一步设计了求解S1/2正则化模型可执行的半阈值特征值算法.数值实验表明该算法的有效性和鲁棒性.针对低秩半定矩阵恢复问题,建立了它的非凸Sp(0<p<1)正则化模型.通过发展对称矩阵p-阈值算子表示理论,建立了其全局最优解的必要性条件,并给出了全局最优解正特征值的精确下界.进一步得到了全局最优解具有一定低秩性的一个充分条件.设计了p-阈值特征值算法,并给出收敛性分析.数值实验表明该算法能有效地求解这类问题.针对低秩半定矩阵恢复问题,建立了它的秩正则化模型.利用特殊秩函数全局极小解具有显式表达式,证明了其全局最优解是某一对称矩阵硬阈值算子的不动点.基于此不动点方程,设计了一种硬阈值算法,并给出相应的收敛性分析.数值实验表明所设计算法的有效性及稳定性.针对低秩半定矩阵恢复问题秩在约束条件下的最小二乘模型,通过目标函数的优超函数,将原问题转化成非凸集上的投影.利用非凸集上投影的显式表达式,给出了原问题全局最优解的一个必要性条件.进而设计了求解该问题的优超算法,并证明了其迭代点列的任何一个聚点都是原问题的一阶稳定点.