本文主要运用初等数论、解析数论以及复分析的方法对罗马尼亚数论专家F.Smarandache教授提出的105个数论中尚未解决的问题进行研究，并得出一些较为精确的渐近公式。 第一章，讨论关于正整数n的k次幂部分的加权均值问题。 设n为正整数，对任意的自然数m，n的k次幂部分定义如下：ak(n)=max{mk：m∈N，mk≤n}bk(n)=min{mk：m∈N，mk≥n}其中ak(n)与bk(n)分别是下部k次幂部分与上部k次幂部分。 主要利用欧拉公式、阿贝尔恒等式、欧拉积公式、perron公式等研究了下面几种类型的k次幂部分的加权均值，即：(1)∑n≤xamk(n)(2)∑n≤xd(amk(n)(3)∑n≤xd(n)amk(n)(4)∑n≤xφ(amk(n))(5)∑n≤xσα(amk(n))并得出一些较为精确的渐近公式。 第二章，讨论关于阶乘部分数列的加权均值问题。 i设n为正整数，对任意的自然数m，阶乘部分数列定义如下：Fp(n)=max{m!：m∈N，m!≤n}fp(n)=min{m!：m∈N，m!≥n}其中Fp(n)与fp(n)分别是下部阶乘部分数列与上部阶乘部分数列，这里，对任意自然数m、n，当m!≤n＜(m+1)!时，有：Fp(n)=m!m!＜n≤(m+1)!时，有：fp(n)=(m+1)!在这一部分里，我们主要研究了以下几种类型的问题，即：(1)∑n≤xlogFp(n)(2)∑n≤xΛk1(n)logl(Fp(n))(3)∑n≤xΛk(n)logl(Fp(n))其中Λ(n)为Mangolds函数，Λ1={logp,若n为素数p;0,其它.得出几个较为精确的渐近公式。