在解析函数理论中，对于一般的解析函数理论已经比较成熟，为了扩展解析函数理论，本文研究了一种新的解析函数——单位根集合上的解析函数。在文献[1]中，作者给出了单位根集上的解析函数的概念。这是一类特殊的带一个变量x级数。这种级数仅仅当x是单位根时才能取值。类比一般解析函数，作者通过特殊方法构造了这种单位根集合上解析函数的导函数与在单位根处的泰勒展开。本文主要探讨这种解析函数的一些计算和推广，从而丰富了解析函数理论的探究结果，对解析函数理论进行了很好的扩展。　　本文始终以解析函数的理论为基础，进行研究单位根集上的解析函数的一些计算与推广的问题。具体安排如下:。　　在第一章中，我们首先介绍了本文的一些历史背景及研究现状，然后简单的讲述了一下本文所做的工作。　　在第二章中，主要论述群、环的相关的定义定理，给出了多项式环的概念，并给出一些特例及证明过程加以理解，为本文提供一些预备知识，增加对文章的理解。　　在第三章中，写到关于导函数和泰勒展开的相关定义定理，以及相关的定理证明。　　在第四章中，根据Kazuo Habiro在文章[1]中给出单位根集上解析函数的概念。进行新定义“导函数”和泰勒展开，并通过计算进行探究新定义下解析函数的一些结论。我们引入比单位根集合更广的“集合系统”这一概念，把对单位根集合上的解析函数推广成集合系统上的解析函数。　　在第五章中，我们做出了总结和展望。