随机微分方程(SDEs)作为一类重要的数学模型,广泛地应用于自动控制、生物学、化学反应工程、医学、经济学、人口学等众多科学领域。由于获得此类方程解的显式表达式非常困难,因此构造适用的数值方法和研究数值解的性质就成为既具有理论意义又具有应用价值的研究课题。近几十年来,在随机微分方程数值解法的研究上已取得了一些成就,这就意味着某些由随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算机进行研究。为了构造有效的数值方法,我们要研究数值方法的收敛性和稳定性。本文构造了两类求解随机微分方程的可分裂的数值方法,获得了一系列收敛性和稳定性的结果。第一章主要以随机微分方程解的存在唯一性、稳定性以及数值方法的收敛性、稳定性为视角回顾了随机微分方程的研究发展经历。第二章介绍了论文中涉及到的有关随机微分方程解的一些基本理论,并简单介绍了求解随机微分方程的数值方法的收敛性和稳定性的基本概念。同时,对论文中常用的记法进行了说明。第三章构造了一类求解随机微分方程更为一般的可分裂的数值方法,称之为可分裂的θ方法(SSθ方法)。当方程的右端函数满足Lipschitz条件和线性增长条件时,建立了SSθ方法均方收敛的理论。对线性试验方程应用SSθ方法,建立了均方稳定(MS稳定)和一般均方稳定(GMS稳定)的规范。当线性试验方程具有实参数时,我们描绘出均方稳定区域。第四章构造了一类求解随机微分方程的预测―校正方法。当方程的右端函数满足一些更弱的条件时,建立了预测―校正方法均方收敛的理论。对一般非线性自治随机微分方程应用预测―校正方法,建立了预测―校正方法均方稳定的规范,这一结果可以看作是对前一章数值方法稳定性分析的推广。此外,对每一种数值方法稳定性分析之后,我们都进行了相应的数值实验。这些数值算例一方面验证了理论上推得结论的正确性;另一方面也形象地展示了数值方法的步长和参数对稳定性的影响。