近年来,高阶精度计算方法越来越受到CFD工作者的高度重视。高阶精度格式具有较小的数值色散和耗散,适合求解多尺度流动问题,如湍流、气动声学问题等等。在众多的高阶精度计算方法中,间断Galerkin有限元方法（DGM）备受关注。间断Galerkin有限元方法是最早由Reed和Hill为解决中子运输方程而提出的。在此基础上,特别是近年来,出现了种类丰富多样的DG方法。DGM保持了传统有限元方法（FEM）和有限体积法（FVM）的优点,融入了高分辨率有限差分方法（FDM）和有限体积方法中如数值通量、Riemann间断分解、TVD和限制器等思想;同时它又是一种积分形式的计算方法,避免了有限差分方法对计算网格的限制,可以直接应用于非结构网格或混合网格。与其它数值方法相比DGM具有突出的优势。然而,DGM的计算量和存储量巨大,其在复杂外形的大型数值模拟方面仍有许多不足,大大限制了其工程应用。相比DGM,传统的二阶FVM的计算量和存储量均要小很多,但是FVM方法提高精度需要扩展模板,如对于三维问题四阶精度的有限体积格式,至少需要20个单元的信息。由于非结构网格的数据存储方式是随机的,使得搜索临近单元费时费力,同时扩展模板也导致边界条件的处理不便。因此,综合FVM和DGM的优势,建立二者的混合算法是一种必然也是自然的选择。为了克服高阶DGM和FVM的不足,综合发挥二者的优势,本文构造了一类间断Galerkin有限元/有限体积混合格式（简称为DG/FV混合格式）。首先通过比较LCP格式、FVM和DGM的构造原理,提出了“静态重构”和“动态重构”的概念,对FVM和DGM进行统一的表述。其次,基于“混合重构”的思想,构造了一类DG/FV混合格式。“混合重构”的基本思路是:利用传统的基于Taylor基的DGM计算各网格单元的低阶导数,此过程为“动态重构”;而利用传统的FVM,通过适当扩展网格模板（仅拓展至邻接单元）,重构网格单元的高阶导数,此过程为“静态重构”;通过“混合重构”得到网格单元内的高阶多项式插值,进而实现高阶精度。为了验证格式的精度和效率,我们将DG/FV混合格式应用于一维和二维标量方程和Euler方程的数值模拟,计算了一些经典算例,得到了很好的计算结果。在Euler方程的数值模拟过程中,为了抑制激波附近的非物理波动,同时为了保证光滑区的计算精度,我们发展了一种简便的间断侦测方法,构造了一种基于节点的Hermit WENO限制器。为了分析DG/FV混合格式的性能,我们还利用Fourier分析方法,对混合格式进行了谱分析,并与相关格式进行了比较。最后,将该方法推广应用于二维三角形/矩形混合网格的数值模拟,展示了DG/FV混合格式适应复杂外形的数值模拟能力。本文共分为七章,各章内容如下:第一章为引言,简要回顾了高精度计算方法的现状,包括结构网格上的差分类格式,如WENO格式,紧致格式,WCNS格式等,非结构网格上的积分类格式,如有限体积格式,连续有限元方法,间断Galerkin有限元方法,以及近年来新发展的有限谱体积格式（SVM）,CE/SE格式等。同时,对非结构网格的发展现状,特别是混合网格生成技术和应用情况,也做了简要回顾。最后,介绍了本文主要的工作。第二章为DGM的构造原理。在RKDG有限元的基础上,我们采用Taylor基,具体构造了二阶、三阶的DG格式。基函数的选取对于间断Galerkin方法尤为重要,传统的DGM针对三角形/四面体采用面积坐标/体积坐标构造基函数,矩形单元则采用双线性插值构造基函数。其它形状的单元则需要坐标变换至标准单元,对于混合网格,格式中出现多种基函数,这使得限制器的构造,隐式时间推进,边界条件处理都存在诸多不便。Taylor基的优势在于针对不同网格单元基函数的形式是一致的,能够简单方便地应用于带有“悬空”节点的混合网格;并且Taylor基具有先天的层次性,非常利于P-Multigrid策略的实施;更为重要的是,基于Taylor基的DG方法和有限体积方法非常类似,有利于本文的DG/FV混合格式的构造。为此,我们选用Taylor基构造高阶DG格式。第三章为间断Galerkin有限元/有限体积（DG/FV）混合格式的构造原理,这是本文的重点。高精度格式构造的关键是如何重构以分段多项式表述的单元内物理量分布。有限体积方法是利用临近单元的单元平均值插值出目标单元的高阶多项式分布,多项式的重构过程是时间上的“后处理”过程;而间断Galerkin方法则通过Galerkin有限元方法多次作用于控制方程,求得单元的分段多项式,重构多项式的各个自由度都是随时间同步计算的。通过比较DGM和FVM,作者提出了静态重构和动态重构的概念,进一步建立了基于混合重构算法的高阶间断Galerkin有限元/有限体积混合格式—DG/FV混合格式。混合重构的基本思想是:单元内分段多项式的低阶导数项由DGM“动态重构”计算,再通过临近单元的单元平均值信息“静态重构”计算更高阶的导数。DG/FV混合格式结合了DGM和FVM的优势,仅通过扩充少量模板（紧邻单元）,在保证精度的同时,能够大幅减少计算量和存储量,具有很强的工程应用价值。第四章对DGM和DG/FV混合格式的精度进行了验证工作,针对一维波动问题分析了格式的谱行为。广泛的数值实验表明DGM和DG/FV混合格式确实达到了理想中的设计精度,甚至某些DG/FV混合格式出现了超收敛现象,我们猜想是这些混合格式遗传了DGM的特性。Fourier分析表明DG/FV格式具有良好的谱行为。同时,我们针对二维等熵涡问题,比较了DGM和DG/FV混合格式的计算效率发现,DG/FV混合格式与相同精度的DGM更有效率。第五章中,为了将格式应用于求解包含间断问题的Euler方程,我们讨论了间断侦测器和限制器的构造方法。根据单元交界面左右变量的差别,提出了一种新的间断侦测器构造方法。该间断侦测器的构造原理简单,编程实现容易。另外,针对基于Taylor基的DGM,提出一种“节点型”的Hermit WENO限制器,称之为Vertex Hermit WENO limiter。与现有的Hermit WENO限制器不同的是,Vertex-HWENO限制器候选模板的一阶导数项的计算是采用Gauss积分法。非线性权值由候选模板的振荡因子直接计算,而不需要计算线性权。限制器的构造只需要扩展少量模板,与DGM的紧致特性保持一致。第六章为DG/FV混合格式的初步应用。对一维的Lax问题、Sod问题、Shu问题,二维NACA0012翼型跨声速绕流、双马赫反射等典型问题进行了数值模拟,计算结果证明了方法的有效性,能够高精度地捕捉激波、接触间断等精细流场结构。第七章为结束语,对本文工作进行了概括总结,探讨了需要进一步深入研究的方向,为后续工作做好准备。最后是致谢及本文的参考文献。