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本文第一章首先介绍了利用古典样条函数求解微分方程的发展状况，并介绍了本文的主要工作，然后在第二章简单讨论了三次、四次、五次、六次多项式样条函数和相应的样条关系式，并给出了相应的局部插值误差。
第三章，基于四次样条函数，我们给出了一个六阶的差分格式来求解常系数的奇异扰动两点边值问题。该差分格式不仅精度高，而且其系数矩阵是三对角矩阵，便于计算。同时结合六次样条函数，我们又给出了一个五阶的五点差分格式，该格式在内部节点的截断误差达到了O(h8)，在边界点的截断误差为O(h5)。
第四章，基于四次样条函数，我们给出了一个新的方法来求解带导数边界条件的两点边值问题。该方法在处理导数边界条件时，其边界点的截断误差至少可达到O(h4)，而经典的有限差分方法在边界点的截断误差只能达到O(h2)。
第五章，基于四次样条函数，针对二阶线性双曲型方程，我们提出了一个无条件稳定的差分格式，该格式的局部截断误差为O(k2+h4)。
第六章，同样结合四次样条函数，我们考虑了一类简化的二阶双曲型方程，给出了一个高精度的半离散方法，该方法的局部截断误差达到O(k5+h4)和O(k7+h4)。
最后，在第七章和第八章，基于四次样条函数，我们考虑了一类抛物型方程的差分格式，同时针对不同的边界条件，我们给出了不同的数值方法。