微分几何是数学中的一个重要分支，起源于微积分的应用，与微分方程，代数，复分析，拓扑学以及理论物理等相互渗透，并成为推进这些理论的发展的重要工具，此外微分几何在机械工程都有应用。子流形的稳定性作为微分几何中的重要内容，其研究有重要意义，而图子流形稳定性作为子流形的一种比较特殊的情形，通过对其研究可以加深对子流形稳定性的研究。对稳定性研究主要是讨论体积形式的二阶变分形式，Wang M.T.讨论了黎曼流形中图子流形的稳定性问题，本文应用了其重要思路，将其拓展到半黎曼流形的情形，一方面通过应用Wang M.T.的方法，证明了函数的一个稳定性定理，且构造了一组特殊正交基，其结论与Wang M.T.中的结论类似；另一方面，应用子流形的基础知识以及黎曼流形中图子流形的基本方法，讨论图子流形的变分公式，并在特殊基的情形下，用讨论图的体积形式的二阶变分的方法，研究了极大类空图子流形的稳定性。本研究第一部分介绍了子流形几何的研究背景及意义；第二部分主要介绍了子流形的基础知识；第三部分主要讨论了图子流形的变分公式并且给出了一个极大图的稳定性的判定定理。