论文研究一类产生于自然、社会的非线性系统的发展趋势和状态．非线性问题是自然界、工程技术和社会经济等领域面临的重要问题．论文以在物理学、生态学、社会学以及工程技术中有重要实际背景的具奇异临界指数的非线性偏微分方程边值问题为研究对象，运用临界点理论和变分方法研究这类非线性系统的临界态的存在性及其对参数的依赖关系和临界态的多解性与稳定性，讨论环境参数对系统的作用和影响，揭示系统的规律．论文研究内容是当前“非线性科学”研究的前沿和热点问题．目前非线性分析研究中的重要而困难的问题是模型失去紧性的问题，而具有临界指数项的椭圆型方程是来自于非线性系统问题中的一类非线性偏微分方程．由于嵌入失去了紧性，相应的泛函不再满足(P.S)条件，应用标准的变分方法遇到了严重的困难．论文运用集中紧性原理和环绕方法，通过精确的能量估计，研究这类具有奇异临界指数的非线性偏微分方程解的存在性、解的性质以及区域对解的影响．论文的创新点及主要结果如下：首先研究有界区域上具有奇异位势的非线性方程的非平凡解的存在性，运用变分方法与临界点理论，构造这一类奇异椭圆方程的环绕型临界值，并由特征值的性质给出临界值的估计，同时证明局部(P.S)条件成立，最终证明方程非平凡解的存在性．其次研究有界区域上具Hardy临界指数项的半线性方程的无穷多解的存在性，利用集中紧性原理克服临界指数带来的嵌入非紧的困难，再利用扰动方法构造无穷多小能量临界值，运用亏格理论证明方程无穷多解的存在性．再次研究有界区域上具有Hardy-Sobolev临界指数的拟线性方程的正解与极小变号解的多重性，运用Lusternik-Schnirelmann理论，给出方程正解与区域的拓扑性质的相关性．进一步，在假设区域具有某种对称性的条件下，研究对称性对极小变号解个数的影响，并给出解的数量的刻画．最后研究有界区域上与Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式有关的非线性奇异方程的正解与变号解的存在性与多重性，运用上述类似的方法给出方程解的存在性与解的性质．论文在系统同时包含临界指标项和奇异位势项，且对应的变分泛函缺失紧性的情况下，运用精细的分析技巧和精确的推理计算，给出了相应方程的正解、变号解和多解的存在性及解的性态．所得结果改进和发展了前人的方法、技巧和结果，取得了实质性的进展，有助于刻画非线性系统解集合的结构，为研究系统的稳定性问题提供了理论依据．