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小波构造一直是小波分析研究中的核心问题之一．到目前为止，一维2-进制小波与小波标架的研究已取得丰硕的成果，高维小波分析的成果远不如一维情况丰富.这是由于一般伸缩矩阵对应格点集的几何性质的复杂性所致.近年来，行列式绝对值为2的伸缩矩阵对应的小波引起了不少学者的关注.其原因是：一方面在这种情况下，由多分辨率分析构造的小波，小波有明确的表达式，小波个数为1，这一性质可以降低计算的复杂性；另一方面，张量积小波强加给自然信号一个不必要的乘积结构，这对自然的信号来讲是极不自然的.与张量积小波相比，这种小波克服了上述局限性，有希望建立各向同性的分析.
小波乘子是构造小波的方法之一，它可以实现由一个小波得到多个小波的计划．关于一维情况，由Texas AM与Washington大学的两个研究小组1998年联合发表文章，引入和刻划了一维2-进制小波乘子.之后2002年李云章，2004年李登峰、程俊芳，2010年Li, Dai, Xin等人研究了二维情况下伸缩矩阵行列式绝对值为2的小波乘子．本文研究一般高维情况下伸缩矩阵行列式绝对值为2时的小波乘子．文章给出了七类乘子的刻划，得到了乘子的表达式.作为乘子的应用，证明了几类小波集合的弧连通性．本文主要结论如下：
定理2.3.1.设A是一个满足｜detA｜=2的d阶伸缩矩阵，则对Rd上的任一可测函数f,下列条件是等价的：
(1)在Rd上几乎处处有｜f(·)｜=1，且κ(·)=f(A*)/f(·)是Zd-周期的.
(2)f是MRA A-小波乘子．
(3)f是A-尺度函数乘子．
(4)f是A-小波乘子．
(5)f是A-PFW乘子．
(6)f是半正交A-PFW乘子．
(7)f是MRA A-PFW乘子．
(8)f是半正交MRA A-PFW乘子．
定理2.4.1．设A是一个满足｜detA｜=2的d阶伸缩矩阵，集合E满足{(A*)nE: n∈Z}为Rd的一个分划，κ(ξ)是一Rd上模为1的Zd-周期可测函数，且g(ξ)是定义在E上模为1的可测函数.定义则有f是一个A-小波乘子.相反地，A-小波乘子均可由上述方法构造.
定理4.2.1．设A是一满足｜detA｜=2的d阶伸缩矩阵，ψ0是A-小波(或MRA A-小波，半正交MRA A-PFW, MRA A-PFW,半正交A-PFW,A-PFW及A-尺度函数)，定义集合Mψ0：={ψ：(Ψ)(·)=f(·)ψ0(·), f是A-小波乘子｝，则Mψ0是弧连通的，即对任意的ψ1∈Mψ0，存在连续映射θ:[0，1]→L2(Rd)使得θ(0)=ψ0，θ(1)=ψ1，且对任意的f∈[0,1]，有θ(f)∈Mψ0.
定理4.3.1．设A是一个满足｜detA｜=2的d阶伸缩矩阵，则MRA A-小波全体作成的集合是弧连通的，即若ψ0，ψ1是任意的两个MRA A-小波，一定存在θ：[0,1]→L2(Rd)的连续映射使得对任意的f∈[0,1]有θ(0)=ψ0，θ(1)=ψ1，且θ(t)也是MRAA-小波.