解析数论是数论中以解析方法作为研究工具的一个分支，对一些数论函数性质的研究在数论研究中占有很重要的地位，许多著名的数论难题都与之密切相关，因而研究它们的性质具有重要的意义.　　 罗马尼亚数论专家Smarandache教授在《只有问题，没有解答》中和加拿大数论专家Guy教授在《数论中未解决的问题》中都提出了一些未解决的数论问题，许多学者对此进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理论价值的研究成果，但仍有许多问题有待于我们进一步去研究解决.　　 本文基于以上想法，利用初等方法及解析方法研究了任意正整数的约数和函数的一个性质以及两个数论函数方程解的情形.具体来说，本文的主要结果包含：　　 1、存在无穷多个正整数n，使得不等式δ(f(n))≥n(n+1)成立.　　 2、当k≥5时，方程Ψ(n)=S(nk)仅有有限多个解n，而且满足n＜k16 logk.　　 3、方程δ(x2+y)+δ(x+y2)=2ψ(x3+y3)仅有解(x，y)=(1，1).　　 其中δ(n)为约数和函数，为ψ(n)欧拉函数，S(n)为Smarandache函数，ψ(n)为Dedekind函数.