小波分析是新兴的数学分支,它作为一种新的分析方法,是调和分析几十年来工作的结晶。现在,小波分析已成为科学研究和工程技术应用中涉及面极其广泛的一个热门话题。在数学领域,小波分析是数值分析强有力的工具,能简捷、有效地求解微分方程和积分方程,亦能很好地求解线性问题和非线性问题。本文对微分方程的小波方法进行研究,得到了一系列结果。全文共分四章,每章的主要内容如下:第一章简述本文所用小波分析的一些基础知识以及微分方程的基本理论,讨论小波分析在微分方程中的应用,提出应用正交小波基对微分方程进行求解的可行性。第二章研究微分方程的数值解法,主要分为三个部分进行说明:常微分方程初值问题和边值问题的数值解法;偏微分方程的差分方法;偏微分方程的有限元方法。通过一些典型、常用、有效的数值方法来阐明构造数值方法的基本思想。第三章主要针对正交多分辨分析定义下的Haar小波、利用正余弦构造出来的Sinecosine小波和CAS小波、由正交多项式构造出来的Legendre小波和Chebyshev小波的性质进行讨论,建立其相应的算子矩阵。在一维CAS正交小波基的基础上,利用张量积构造出二维CAS正交小波基,讨论其性质,并建立算子矩阵。第四章利用多种正交小波基,对有限长梁的微分方程、常系数对流扩散方程以及Winkler弹性地基上薄板弯曲问题的控制微分方程进行求解。小波的局部化特征使得小波方法能精确分辨问题的解,同时可随着尺度的增大,收敛速度的加快,从而更加有效地求解微分方程,克服了求解微分方程的许多经典方法中,由于计算量大,收敛速度慢等原因造成的计算困难。